Calcolo delle derivate: come calcolare la derivata di una funzione elevata a un'altra funzione e la derivata di una funzione inversa.

Derivata di funzioni inverse

Un ultimo sforzo per scoprire tutti i segreti del calcolo delle derivate. Come calcolare la derivata di una funzione elevata a un'altra funzione? Scopri subito come calcolare la derivata di una funzione inversa, in particolare arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente.

Prima di affrontare le derivate di funzioni inverse, vediamo come calcolare la derivata di una funzione elevata a un'altra funzione: si tratta di una particolare funzione composta che ci permette di passare più facilmente al prossimo punto.

La derivata di una funzione inversa ha una proprietà particolare: impara quali sono le derivate delle funzioni arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente.

Accedi per sempre a tutte le lezioni FREE con video ed esercizi spiegati!

Prerequisiti per Derivata di funzioni inverse

I prerequisiti per imparare a calcolare la derivata di funzioni inverse sono:

Come derivare una funzione elevata un’altra funzione

La regola per derivare la funzione composta è detta regola della "catena" perché derivi le funzioni componenti a partire dalla più esterna e le moltiplichi. Una particolare funzione composta da due funzioni è questa: date £$ f $£ e £$g$£, ottieni £$ [f(x)]^{g(x)} $£.

Come derivare unafunzione elevata un'altra funzione? Potresti applicare la regola di derivazione delle derivate composte, ma prima dovresti passare al logaritmo e fare alcuni passaggi algebrici, allora studiamo la regola generale per velocizzare i calcoli. La derivata di questa particolare funzione esponenziale composta è £$ \left( [f(x)]^{g(x)} \right)’=f(x)^ {g(x)} \left[ g’(x) \ln (f(x))+ \frac{g(x)f’(x)}{f(x)}\right] $£. Se, per esempio, hai le due funzioni £$f(x)=sen \ x$£ e £$g(x)=x^2$£, e la funzione £$h(x)=(sen \ x)^{x^2}$£, che ha derivata: £$h'(x)=(sen \ x)^{x^2} \cdot \left[2x \ln (sen \ x)+ \frac{x^2 \cdot cos \ x}{sen \ x} \right]$£

Trovi gli esercizi su questo argomento in questa lezione.

Come calcolare la derivata delle funzioni inverse

Regola: come fare la derivata delle funzioni inverse

Derivata arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente

Ora che hai imparato a derivare la somma, il prodotto, il quoziente e la composizione di funzioni puoi completare il calcolo delle derivate imparando a calcolare la derivata di funzioni inverse e unendo tutte queste formule negli esercizi.

Imparare a calcolare la derivata della funzione inversa è utile quando hai funzioni come l'arcoseno o l'arcotangente, che non hanno derivata elementare ma che sono le funzioni inverse delle funzioni goniometriche elementari.

Partiamo quindi dalla formula principale: la derivata di una funzione inversa è uguale all’inverso della derivata della funzione di partenza. £$y=f(x)$£ ha inversa £$x=f^{-1}(y)$£ e la sua derivata è: £$(f^{-1}(y))’=\frac{1}{f’(x)}$£

Partendo da questa regola trovi le derivate delle funzioni arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente che sono le funzioni inverse delle funzioni goniometriche seno, coseno, tangente, cotangente. Trovi tutte le formule che vuoi nella tabella delle derivate qui sopra!

Trovi gli esercizi su questo argomento in questa lezione.