Calcolo delle derivate: come calcolare la derivata del prodotto di due funzioni? Scopri subito la formula e osserva tutti gli esempi svolti nella video lezione.

Derivata del prodotto di funzioni

Quali sono le proprietà del prodotto di due funzioni? Come calcolare la derivata del prodotto di due funzioni? Scopri subito la formula da utilizzare e impara ad utilizzarla osservando tutti gli esempi.

Le funzioni che utilizziamo più di frequente sono somme, prodotti di funzioni che conosciamo bene. Sfruttiamo le regole delle derivate fondamentali e impariamo le proprietà delle operazioni per imparare a calcolare anche la derivata del prodotto di due o più funzioni.

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Prerequisiti per Derivata del prodotto di funzioni

I prerequisiti per imparare a calcolare la derivata del prodotto di funzioni sono:

Come calcolare la derivata del prodotto di funzioni?

Hai due funzioni e le moltiplichi. Cosa succede? Ottieni una nuova funzione: la funzione prodotto.

Per esempio hai la funzione £$f(x)=x^2$£ e la funzione £$g(x)= sen (x)$£, moltiplicale e ottieni una nuova funzione £$p(x)= x^2 \cdot sen (x)$£
Come fai per calcolare la derivata? La derivata del prodotto di funzioni NON è uguale al prodotto delle derivate delle due funzioni (fattori). Vediamo come funziona per il prodotto di due funzioni: la derivata del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto del primo fattore derivato per il secondo senza derivare, sommato al primo senza derivare per il secondo derivato: £$ (f(x) g(x))’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) $£. Se le due funzioni sono quelle dell'esempio precedente abbiamo: £$f(x)=x^2 \to f'(x)=2x$£ e £$g(x)=sen (x) \to g'(x)=cos(x)$£, la derivata del prodotto è: £$p'(x)=2x \cdot sen (x)+x^2 \cdot cos (x)$£

Il prodotto e la somma sono commutativi quindi non è importante quale consideri come primo o secondo fattore, quello che conta è che quello che derivi la prima volta non sia derivato la seconda e viceversa per il secondo!

Quando può essere realmente utile la regola di derivazione del prodotto? Raramente ti capiterà di dover moltiplicare due o più funzioni, più spesso ti capiterà di avere una funzione che non sai derivare e che, scomposta nel prodotto di due funzioni elementari è facile da derivare. Per esempio la funzione £$h(x)=\ln (x)^{x^2}$£ non ha derivata immediata, ma applicando le proprietà dei logaritmi puoi scriverla come il prodotto: £$h(x)=x^2 \cdot \ln x$£

Il prodotto di una funzione per una costante, è un caso particolare di prodotto di funzioni dove una delle due funzioni è sempre una costante. La formula della derivata del prodotto per una costante diventa: £$ (c f(x))’=c f’(x)$£. Cioè se moltiplico £$f(x)=x$£ per la costante £$7$£, ottengo la funzione £$p(x)=7x$£ che ha derivata £$p'(x)=7 \cdot 1+0 \cdot x=7 \cdot 1 =7$£

Trovi gli esercizi su questo argomento in questa lezione.

Come derivare il prodotto di tre o più funzioni

Abbiamo visto la formula della derivata del prodotto di due funzioni. Per la derivata del prodotto di tre o più funzioni, qual è la regola? Sempre la stessa! Basta applicare la proprietà associativa del prodotto e poi la regola di derivazione del prodotto di due funzioni.

Se £$p(x)=f(x)g(x)h(x)$£ è il prodotto di tre funzioni, associa due di queste e scrivi il prodotto così: £$p(x)=f(x) \cdot (g(x)\cdot h(x))$£ e la derivata è £$p'(x)=f'(x) \cdot (g(x)h(x))+f(x)(g(x)h(x))'$£ Cioè, sviluppando i calcoli:

£$p'(x)=f'(x)g(x)h(x)+f(x)(g'(x)h(x)+g(x)h'(x))=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)$£

Per esempio se le tre funzioni sono £$f(x)=x^2$£, £$g(x)=sen (x)$£ e £$h(x)=\sqrt{x}$£, moltiplicandole ottieni la funzione prodotto £$p(x)=x^2 \cdot sen(x) \cdot \sqrt{x}$£. La derivata del prodotto £$f(x)\cdot g(x)$£ è £$(2x \cdot sen (x)+x^2 \cdot cos (x))$£, quindi associamo le funzioni così: £$p(x)=(x^2 \cdot sen (x)) \cdot \sqrt{x}$£, calcoliamo la derivata: £$p'(x)=(2x \cdot sen (x)+x^2 \cdot cos (x)) \cdot \sqrt{x}+ (x^2 \cdot sen (x)) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}= 2x \cdot sen (x) \cdot \sqrt{x}+x^2 \cdot cos (x) \cdot \sqrt{x}+x^2+sen(x)+\frac{1}{2\sqrt{x}}$£

Se il prodotto è di quattro, cinque o più funzioni, la regola è sempre la stessa. Riscrivi il prodotto con la proprietà associativa e utilizza la formula della derivata del prodotto!

Trovi gli esercizi su questo argomento in questa lezione.