Calcolo delle derivate: scopri subito come calcolare la derivata del quoziente di due funzioni. Osserva gli esempi nella video lezione!

Derivata del quoziente di funzioni

Continua il nostro viaggio nel calcolo delle derivate: come calcolare la derivata del quoziente di due funzioni? Non dimenticare di imporre le condizioni di esistenza, cioè di definire il dominio della funzione prima di calcolare la derivata.

Continua ad allenarti e impara a calcolare anche la derivata del quoziente di funzioni. Scopri subito tutti i segreti delle derivate e tutti gli esercizi saranno alla tua portata!

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Prerequisiti per Derivata del quoziente di funzioni

I prerequisiti per imparare a calcolare la derivata del quoziente di funzioni sono:

Come calcolare la derivata di un quoziente

Prendi due funzioni elementari, per esempio £$f(x)=sen \ x$£ e £$g(x)=cos \ x$£, e mettine una al numeratore e l'altra al denominatore. Avrai una nuova funzione: la funzione quoziente! Riprendendo l'esempio: £$q(x)=\frac{sen \ x}{cos \ x}$£ è la funzione quoziente.

Come si calcola la derivata del quoziente di funzioni? La derivata di un quoziente è:

  • numeratore: la differenza della derivata della funzione al numeratore per la funzione al denominatore non derivata, con la funzione al numeratore non derivata, per la derivata della funzione al denominatore
  • denominatore: quadrato della funzione al denominatore

Se proprio non puoi fare a meno delle formule: £$f(x)=\frac{N(x)}{D(x)}$£ ha derivata £$ f’(x) = \left( \frac{N(x)}{D(x)} \right)’ = \frac{N’(x)D(x)-N(x)D’(x)}{[D(x)]^2}$£

Quindi, la derivata di £$h(x)=\frac{sen \ x}{cos \ x}$£ è £$h'(x)=\frac{cos \ x \cdot cos \ x- sen \ x (-sen \ x)}{cos^2x}$£

Come la formula della derivata del prodotto di funzioni, anche quella del quoziente è molto utile quando non sai derivare una funzione, ma puoi vederla come il quoziente di due funzioni elementari che sai derivare. Per esempio hai la funzione £$h(x)=tg \ x$£, che non ha una derivata immediata, ma per la seconda relazione fondamentale della goniometria sai che £$tg \ x= \frac{sen \ x }{cos \ x}$£, che è proprio il quoziente dell'esempio precedente, e che ha derivata:

£$ h'(x) = (tg(x))' = \frac{cos \ x \cdot cos \ x - sen \ x \cdot (-sen \ x)}{cos^2 x}=\frac{cos^2 x + sen^2 x}{cos^2 x}=\frac{1}{cos^2 x} $£

Se la regola di derivazione di un quoziente di funzioni non ti entra in testa, ricordati sempre che puoi vedere ogni quoziente come un prodotto del numeratore per il reciproco del denominatore, e puoi così applicare la regola di derivazione del prodotto di funzioni anche nel quoziente. In alcuni momenti ti verrà da scrivere la derivata del quoziente di due funzioni come il quoziente delle due derivate, questo NON è corretto, perché non corrisponde con la formula di derivazione del quoziente di funzioni.

Trovi gli esercizi su questo argomento in questa lezione.

Quando derivi ricordati del dominio della funzione!

Qual è la derivata di £$f(x)=\ln x $£? Facile è £$f'(x)=\frac{1}{x}$£. Ma questo solo per £$x > 0 $£ cioè per le £$x$£ che sono nel dominio della funzione! Quindi ogni volta che calcoliamo la derivata di una funzione, dobbiamo sempre stare attenti al suo dominio.

Vediamo un altro caso in cui dobbiamo stare attenti: la funzione £$f(x)=\frac{x^3}{x}$£ ha derivata £$f'(x)=2x$£ che è uguale alla derivata di £$g(x)=x^2$£. Ma quindi hanno la stessa derivata? Quasi. Infatti la funzione £$f$£ non è definita in £$ x=0 $£ anche se lì ha un punto di discontinuità eliminabile. Anche per la sua derivata vale lo stesso ragionamento, quindi £$f(x)=\frac{x^3}{x}$£ ha derivata £$f'(x)=2x$£ tranne in £$x = 0 $£. Rimane comunque un punto di discontinuità eliminabile.

Trovi gli esercizi su questo argomento in questa lezione.