Teoremi sulle funzioni derivabili

Una funzione è derivabile quando la derivata destra e sinistra esistono finite e sono uguali. Quando una funzione è derivabile puoi calcolare la sua funzione derivata. I teoremi sulle funzioni derivabili parlano di alcune proprietà importanti delle funzioni derivabili, partendo dal valore o dalle proprietà della funzione derivata! Iniziamo dall' enunciato del teorema di Rolle. Data una funzione £$f$£ che sia:

1. continua in un intervallo chiuso e limitato £$[a,b]$£
2. derivabile almeno nell’intervallo aperto £$(a,b)$£
3. tale che £$ f(a)=f(b) $£

Allora (tesi) esiste almeno un punto £$ c\in (a,b) $£ tale che £$ f’(c)=0 $£

Il teorema di Rolle, quindi, ci dice che quando una funzione soddisfa le ipotesi 1,2,3, cioè quando è continua in un intervallo chiuso e limitato, derivabile almeno nei suoi punti interni e assume lo stesso valore agli estremi dell’intervallo di continuità, allora soddisfa anche la tesi, cioè c’è almeno un punto (e quindi può essercene anche più di uno) dove si annulla la derivata, e quindi in cui il grafico della funzione ha una tangente orizzontale.
Il teorema è una condizione necessaria ma non sufficiente, quindi può succedere che una funzione abbia un punto a tangente orizzontale ma non soddisfi almeno una delle ipotesi, ma se soddisfa le ipotesi sicuramente avrà almeno un punto che annulla la derivata prima!

Qual è il significato geometrico del teorema di Rolle? A cosa serve questo teorema?

Geometricamente, una funzione che soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Rolle ha almeno un punto in cui la tangente è orizzontale. Quindi il teorema di Rolle serve per verificare l’andamento di una funzione: se soddisfa il teorema di Rolle, ha almeno un punto a tangente orizzontale, allora sicuramente NON È strettamente monotona, e la sua derivata ha almeno un punto in cui si annulla.

Le conseguenze del teorema di Lagrange sono dei corollari, cioè dei teoremi che derivano direttamente dal teorema di Lagrange. Sono teoremi sulle funzioni derivabili e sono molto utili per lo studio dei massimi e minimi di una funzione e degli integrali.
La prima conseguenza del teorema di Lagrange è quella sulle funzioni con derivata nulla. Vediamo l'enunciato.
Data una funzione £$f$£, se:

1. continua in £$[a,b] $£
2. derivabile almeno in £$ (a,b) $£
3. tale che £$ f’(x)=0 $£ £$ \forall x \in (a,b) $£

Allora £$ f $£ è costante £$ \forall x \in [a,b]$£ Possiamo vedere questo teorema come la condizione sufficiente della regola di derivazione di una costante. Se una funzione è costante sappiamo che la sua derivata è nulla, questo teorema ci dice che ogni volta che la derivata di una funzione continua e derivabile è nulla in tutto un intervallo, allora la funzione è continua.

Il teorema di Lagrange ha un ruolo importante nella ricerca dei massimi e minimi di una funzione. Un punto di massimo e minimo è un punto in cui la funzione passa da crescente a decrescente. A partire dalla derivata come facciamo a capire se la funzione è crescente o decrescente? Ce lo dice una della conseguenze del teorema di Lagrange.
L’enunciato di questo corallario dice che, data una funzione £$f$£ definita in un intervallo £$[a,b] $£, e dato un sottointervallo £$ I \in [a,b] $£ se:

1. £$ f(x)$£ è continua nell’intervallo £$ I$£;
2. £$ f(x) $£ è derivabile almeno nei punti interni all’intervallo £$ I $£
3. £$ f’(x) > 0 \ \forall x \in I $£, oppure £$f'(x) < 0 \ \forall x \in I$£

Allora la funzione è, rispettivamente, crescente o decrescente nell'intervallo £$ I $£.
Questo corollario esprime la relazione fra il segno della derivata prima di una funzione e il suo andamento. Perciò se la derivata prima, e quindi il coefficiente angolare della retta tangente in un punto è positivo, la funzione è crescente in quel punto, altrimenti è decrescente. E se si annulla? Questo è il secondo corollario, se la derivata è nulla in un punto, allora la funzione è costante, cioè è stazionaria, non cresce nè decresce.

I teoremi sulle funzioni derivabili sono quelli che studiano le proprietà delle funzionid erivabili partendo da alcune caratteristiche della derivata. Questi teoremi sono quelli di Rolle, di Lagrange, di Cauchy e di De l'Hôpital. I teoremi di Rolle e Lagrange hanno importanti interpretazioni geometriche e sono utili per studiare i massimi e i minimi o gli integrali. Invece il teorema di Cauchy è principalmente un lemma, ossia un teorema utilizzato in dimostrazioni importanti di altri teoremi, per esempio quello di De l’Hôpital.
Nell'esame di maturità, specialmente nei quesiti, ti potrebbero però chiedere di verificare che alcune funzioni soddisfino o meno le ipotesi di questo teorema e quindi quando si può o no dedurre la tesi. Per questo motivo è meglio esercitarsi un po' e studiare bene l'enunciato.
Il teorema di Cauchy dice che se due funzioni £$ f $£ e £$ g $£:

1. sono continue in £$ [a,b] $£
2. sono derivabili (almeno) in £$ (a,b) $£
3. £$ g’(x) \ne 0 $£ per ogni £$ x $£ in £$ (a,b) $£

allora esiste un punto £$c$£ nell’intervallo £$ (a,b) $£ tale che £$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f’(c)}{g’(c)}$£
L’esistenza del punto £$c$£ che soddisfi la relazione è quindi la tesi del teorema!

Il teorema di De L’Hôpital, insieme ai teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy, parla delle funzioni derivabili, ma rispetto agli altri è più conosciuto e usato (e amato, soprattutto dagli studenti).
Spesso sentirai anche parlare di formula di De L’Hôpital, che non è altro che la tesi di questo teorema. È Il teorema più famoso tra quelli delle funzioni derivabili perché permette di risolvere alcuni limiti che all'apparenza sono difficili da calcolare.
Usiamo il teorema di De L’Hôpital quando, risolvendo un limite, troviamo una di queste forme indeterminate: £$ \left[ \frac{0}{0} \right] $£ e £$ \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$£, oppure tutte quelle forme indeterminate che non riusciamo a eliminare e si possono ricondurre a una di queste due.
Ma vediamo quando si può applicare il teorema di De L'Hopital. Intanto, partiamo dall'enunciato.
Date due funzioni £$ f $£ e £$g$£ che siano:

1. continue in un punto £$x_0$£
2. derivabili (almeno) in £$ I(x_0) \setminus {x_0} $£
3. tali che il limite per £$ x $£ che tende a £$x_0$£ o a infinito del rapporto fra £$ \frac{f(x)}{g(x)} $£
4. £$ g’(x) \ne 0 $£ in £$ I(x_{0}) \setminus {x_0}$£
5. esiste £$ \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$£

Allora il limite del rapporto fra le due funzioni è uguale al limite del rapporto delle loro derivate:

£$ \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f’(x)}{g’(x)}$£
Se quest’ultimo è ancora una forma indeterminata, possiamo applicare il teorema di De L’Hôpital al quoziente delle derivate successive alla prima, quante volte vogliamo fino a che non si elimina l’indeterminazione (ovviamente dobbiamo controllare che le ipotesi siano sempre soddisfatte!).
Impariamo a usare il teorema di De L’Hôpital partendo dagli esempi e con gli esercizi svolti!