Criteri di convergenza degli integrali impropri

L'integrale di una funzione in un intervallo è un numero che misura l'area della regione di piano compresa tra il grafico della funzione e l'asse £$x$£ e gli estremi dell'intervallo.
Se l'intervallo è illimitato, oppure se la funzione non è definita in un estremo (o entrambi), può non essere semplice calcolare l'integrale. Infatti l'area potrebbe essere infinita.
Ogni volta che abbiamo a che fare con le situazioni che abbiamo descritto prima, parliamo di integrale improprio (o integrale generalizzato).
ESEMPIO: calcoliamo l'integrale £$\int_{0}^{1}\frac{1}{x}\,dx$£. Vediamo che la funzione che dobbiamo integrare ha una discontinuità di seconda specie in £$x=0$£. Graficamente, abbiamo un asintoto verticale e l'area sottesa potrebbe essere infinita. Questo è un esempio di integrale improprio.

Nel calcolo di un integrale improprio, possono verificarsi due casi:

• l'integrale improprio ha un valore finito. Ciò significa che, il valore dell'area compresa nell'intervallo, il grafico della funzione e l'asse £$x$£ è un valore finito (numero reale). In questi casi, diciamo che l'integrale improprio converge;
• l'integrale improprio ha un valore infinito. Ciò significa che, il valore dell'area compresa nell'intervallo, il grafico della funzione e l'asse £$x$£ è infinita. In questi casi, diciamo che l'integrale improprio diverge.

Quando abbiamo a che fare con un integrale improprio, vogliamo sapere se l'integrale diverge o converge e, in questo caso, calcolarne l'area. Esistono diversi modi e criteri per risolvere questo tipo di esercizi, soprattutto confrontando le funzioni con funzioni campione, di cui conosciamo già il comportamento.

Vediamo alcuni integrali impropri e le condizioni che si devono verificare per la convergenza:

• £$f_{p}(t)=\frac{1}{(t-a)^{p}}$£, con £$t\in (a,b]$£. L'integrale converge se e solo se £$p<1$£ cioè £$\int_{a}^{b}f_{p}(t)dt< +\infty \Leftrightarrow p<1$£;
• £$f_{p}(t)=\frac{1}{t^p}$£ in £$[1,+\infty)$£. L'integrale converge se e solo se £$p>1$£ cioè £$\int_{1}^{+\infty}f_{p}(t)dt< +\infty \Leftrightarrow p>1$£;
• £$f_{p,q}(t)=\frac{1}{t^p\ln^{q}t}$£ in £$[M,+\infty)$£ con £$M>1$£. Integrale converge se e solo se £$p>1, \forall q$£ oppure se £$p=1, q>1$£.

Queste tre famiglie di funzioni sono utili per il confronto con le funzioni che ci troviamo a integrare. L'obiettivo è cercare di ricondurci a queste funzioni delle quali conosciamo il comportamento.

Teorema del confronto. Sia £$f:I\to \mathbb{R}$£ una funzione integrabile almeno in tutti i punti interni di £$I$£.

1. Se £$|f(x)|\le g(x)$£ per ogni £$x\in I$£ e l'integrale improprio di £$g$£ converge in £$I$£, allora converge in £$I$£ anche l'integrale improprio di £$f$£;
2. Se £$0\le g(x) \le f(x)$£ per ogni £$x\in I$£ e l'integrale improprio di £$g$£ non converge in £$I$£, allora non converge in £$I$£ neanche l'integrale improprio di £$f$£.

Questo teorema ci permette quindi di capire il comportamento dell'integrale improprio usando altre funzioni, delle quali conosciamo già il comportamento, semplicemente confrontandole con la funzione che vogliamo studiare.

ESEMPIO: l'integrale improprio £$\int_{1}^{+\infty}\frac{-2+3sen\,x^2}{x^2+1}dx$£ converge?

Non avrebbe senso mettersi a calcolare il limite della funzione integrale (anche se potremmo farlo). Proviamo a confrontare questa funzione con una funzione campione di cui conosciamo già il comportamento:

£$|\frac{-2+3sen\,x^2}{x^2+1}|\le \frac{5}{x^2+1}\le \frac{5}{x^2}$£ per ogni £$x\le 1$£

dove abbiamo usato la disuguaglianza £$|-2+3sen\,x^2|\le |-5|\le 5$£. Ora noi sappiamo che nell'intervallo £$[1,+\infty)$£ le funzioni del tipo £$f_{p}(x)=\frac{1}{x^p}$£ hanno l'integrale improprio convergente se e solo se l'esponente £$p$£ è maggiore di £$1$£. Nel nostro caso l'esponente è £$2$£, quindi £$\int_{1}^{+\infty}\frac{5}{x^2}dx < +\infty$£. Allora, per il criterio del confronto, vale anche £$\int_{1}^{+\infty}\frac{-2+3sen\,x^2}{x^2+1}dx < +\infty$£.

ESEMPIO: £$\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{e^x}dx$£ è convergente. Infatti, in un intorno di infinito, £$\frac{1}{e^x}$£ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto alle funzioni del tipo £$\frac{1}{x^p}, \forall p \in \mathbb{R}$£. Sappiamo che l'integrale improprio di queste funzioni converge in £$[1,+\infty)$£ se e solo se £$p > 1 $£. Quindi vale la maggiorazione: £$\dfrac{1}{e^x} < \dfrac{1}{x^2} $£ e quindi l'integrale £$\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{e^x}dx$£ converge perché converge £$\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx$£ per il teorema del confronto.

Una conseguenza del teorema del confronto è la possibilità di utilizzare il confronto asintotico per verificare la convergenza di un integrale improprio. Infatti, l'utilizzo del confronto tra infiniti/infinitesimi permette di riportarci allo studio di una delle funzioni campione, che usiamo appunto col criterio del confronto per capire il comportamento dell'integrale.
ESEMPIO: l'integrale £$\int_{4}^{+\infty}\frac{x-x^3}{x^6-1}dx$£ converge?
Vediamo prima di tutto che la funzione da integrare è una razionale fratta, continua nell'intervallo di integrazione £$[4,+\infty)$£. Siamo interessati a capire cosa succede a £$+\infty$£.
La funzione da integrare diventa quindi un rapporto tra infiniti e sappiamo che per passare al confronto asintotico, ci basta considerare solo le £$x$£ al grado maggiore, sia al numeratore che al denominatore:

£$ \dfrac{x-x^3}{x^6-1} \sim \dfrac{-x^3}{x^6}=-\dfrac{1}{x^3}$£.

Ma sappiamo che la funzione £$-\frac{1}{x^3}$£ è integrabile (cioè l'integrale converge) vicino a £$+\infty$£ perché l'esponente della £$x$£ è £$3 >1$£. Visto che le due funzioni si comportano praticamente allo stesso modo vicino a £$+\infty$£ possiamo dire che anche £$\int_{4}^{+\infty}\frac{x-x^3}{x^6-1}dx$£ converge.