Formula di integrazione per parti

Ricordate la formula per derivare il prodotto di due funzioni £$f$£ e £$g$£? La derivata del prodotto £$f \cdot g$£ è uguale alla derivata della prima per la seconda non derivata, più la prima non derivata per la derivata della seconda: £$f'g+fg'$£. Da questa formula ricaviamo (e quindi dimostriamo) la formula dell'integrazione per parti.

La formula di integrazione per parti è:

£$\int f'(x) \ g(x) dx= f(x) \ g(x) - \int f(x) \ g'(x) dx$£.

Qual è l'obiettivo? Quello di scomporre una funzione complicata di cui non sappiamo fare l'integrale, nel prodotto di due funzioni più semplici, meno un integrale che sappiamo svolgere.

Come svolgere i calcoli? Individua i due fattori e fai in modo che sotto il segno di integrale compaia:

• un fattore differenziale £$f'(x)$£, cioè una funzione derivata;
• un fattore finito £$g(x)$£, cioè una funzione.

Scegli il fattore differenziale e il fattore finito pensando che:

• di £$f'(x)$£ devi fare l'integrale per trovare £$f(x)$£;
• di £$g(x)$£ devi fare la derivata per trovare £$g'(x)$£.

e che quindi questi calcoli devono risultare facili, in particolare per risolvere £$\int f(x)g'(x)dx$£, che è la seconda parte della formula.

Trovi gli esercizi su questo argomento in questa lezione.