Prerequisiti per Metodo di integrazione per funzioni razionali
I prerequisiti per imparare a integrare le funzioni razionali sono:
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Metodo di integrazione per le funzioni razionali
Ripassa per l'esame di Matematica dell'Università come integrare le funzioni razionali! A seconda del grado del numeratore e del grado del denominatore riuscirai a prevedere il risultato!
Appunti
Metodo di integrazione per le funzioni razionali. Hai una funzione integranda razionale fratta? Risolvi l'integrale analizzando il grado del numeratore e del denominatore! Se il denominatore ha grado 2analizza prima di tutto il delta. In questo modo potrai prevedere di che tipo sarà la soluzione!
In questa lezione imparerai:
- Integrazione delle funzioni razionali: quali casi possiamo incontrare nell'integrazione di una funzione razionale
- Denominatore di II grado: caso £$\Delta > 0 $£. Come risolvere l'integrale e qual è la soluzione
- Denominatore di II grado: caso £$\Delta = 0 $£. Come risolvere l'integrale e qual è la soluzione
- Denominatore di II grado: caso £$\Delta < 0 $£. Come risolvere l'integrale e qual è la soluzione
- Denominatore di grado > 2: come risolvere l'integrale e qual è la soluzione
Contenuti di questa lezione su: Metodo di integrazione per le funzioni razionali
Come integrare le funzioni razionali
Analizziamo gli integrali in cui l'integranda è una funzione razionale, cioè è scritta come rapporto di due polinomi £$P_n(x)$£ di grado £$n$£ e £$Q_m(x)$£ di grado £$m$£. Distinguiamo 4 casi:
- £$n=0$£ e £$ m=1$£ sappiamo già risolvere l'integrale: £$\int \frac{q}{ax+b } dx= \frac{q}{a} \ln |ax+b|+c$£
- £$n \ge m$£ devi fare la divisione fra i polinomi e, sfruttando il teorema del quoziente e del resto, puoi scrivere l'integranda come somma tra un polinomio che sappiamo integrare subito e una funzione razionale dove il denominatore ha grado £$\le$£ del grado del denominatore;
- £$m=2$£ e £$n \le 1$£ l'integrale è: £$\int \frac{px+q}{ax^2+bx+c} dx$£. La soluzione e la risoluzione di questo integrale dipende dal Delta £$\Delta$£ del polinomio al denominatore;
- £$m > 2 $£ e £$n < m$£ la soluzione dipende dal grado del denominatore.
Se il denominatore ha grado 2
Denominatore di II grado: caso £$\Delta > 0 $£
Denominatore di II grado: caso £$\Delta = 0 $£
Denominatore di II grado: caso £$\Delta < 0 $£
Nel caso dell'integrale £$\int \frac{px+q}{ax^2+bx+c} dx$£ dove il denominatore ha £$\Delta > 0$£. Cosa devi fare per semplificare l'integrale?
- Fattorizza il denominatore in un polinomio;
- Cerca £$A$£ e £$B$£ tali che £$\frac{px+q}{ax^2+bx+c}= \frac{1}{a} \left( \frac{A}{x-x_1} + \frac{B}{x-x_2} \right)$£;
- La soluzione è la somma di due logaritmi.
Nel caso dell'integrale £$\int \frac{px+q}{ax^2+bx+c} dx$£ dove il denominatore ha £$\Delta = 0$£. Cosa devi fare per semplificare l'integrale?
- Fattorizza il denominatore scrivendolo come un quadrato perfetto;
- Sostituisci £$t=x-x_0$£;
- Separa e risolvi i due integrali immediati.
Nel caso dell'integrale £$\int \frac{px+q}{ax^2+bx+c} dx$£ dove il denominatore ha £$\Delta < 0$£. In questo caso per semplificare l'integrale devi
- Spezzare £$q$£ come somma di due numeri tali che al numeratore compaia la derivata del denominatore;
- Spezzare l'integrale in due, in modo che nel primo l'integrando sia del tipo "derivata fratto funzione";
- La soluzione è la somma di un logaritmo e di un arcotangente.
Denominatore di grado > 2
Quando £$m > 2 $£ e £$n < m$£ scomponi il polinomio al denominatore con la regola di Ruffini. Trova un numero di costanti uguale al numero di fattori in cui hai scomposto il polinomio usando lo stesso metodo usato per trovare le costanti A e B del caso in cui il denominatore ha £$\Delta > 0$£. Ora separa la frazione in più frazioni e risolvi.
Esercizi sull'integrazione di funzioni razionali
Testo degli esercizi
Soluzione degli esercizi
Ecco alcuni esercizi per arrivare preparato all'interrogazione o alla verifica sull'integrazione delle funzioni razionali. Ricordi cosa succede se il denominatore è di secondo grado? E se fosse di grado maggiore di £$2$£?
