Teoremi e calcolo dell'integrale definito

Il teorema della media rappresenta una proprietà importante degli integrali definiti: se £$f(x)$£ è una funzione continua in un intervallo £$[a,b]$£, esiste almeno un punto £$c$£ interno all'intervallo tale che £$f(c)=\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$£

Per dimostrare il teorema della media devi saper calcolare l'integrale di una costante e dovrai usare il teorema dei valori medi.

Dal punto di vista geometrico il teorema della media ci dice che il valor medio £$f(c)$£ è l'altezza del rettangolo di base £$b-a$£.

Se £$f$£ è una funzione continua in £$[a,b]$£ e £$x$£ è un punto interno all'intervallo, definiamofunzione integrale di £$f$£ in £$[a,b]$£ la funzione £$F(x)=\int_a^x f(t)dt$£.

La funzione integrale associa ad ogni £$x \in [a,b]$£ il numero reale £$ \int_a^x f(t)dt $£. Se £$f(t)$£ è positiva in £$[a,b]$£ la funzione integrale £$F(x)$£ rappresenta, al variare di £$x$£, l'area della parte di piano compresa tra la curva grafico di £$f$£ , l'asse delle ascisse, e le rette £$t=a$£ e £$t=x$£.

Il teorema fondamentale del calcolo integrale dimostra che l'integrale è l'operazione inversa della derivata. L'enunciato del teorema, detto anche teorema di Torricelli Barrow, è: data la funzione £$f(x)$£, continua in £$[a,b]$£, la funzione integrale £$F(x)=\int_a^x f(t)dt $£ è derivabile £$\forall x \in [a,b]$£ e la sua derivata è proprio la funzione £$f$£: £$F'(x)=f(x)$£

La dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale usa la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale ed il teorema della media.

Come si calcola un integrale definito?

Per calcolare un integrale definito devi:

1. calcolare l'integrale indefinito associato, in questo modo troviamo l'insieme delle primitive £$G(x)$£
2. applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale e troviamo quanto vale £$G$£ negli estremi dell'intervallo di integrazione. Troviamo: £$\int_a^b f(x) dx=G(b)-G(a)$£