Derivate - Formule

Formulario delle derivate.

Appunti

Nel calcolo della derivata di una funzione è fondamentale conoscere il significato geometrico di derivata ma anche la definizione di derivata (cioè il limite del rapporto incrementale).

Le derivate fondamentali e le regole di derivazione:

  • tabella delle derivate fondamentali
  • regole di derivazione (prodotto, quoziente, potenza, funzione inversa).

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Derivate di funzioni composte

$$\begin{array}{|c|c|}\hline{\text{Funzione }} & {\text{Derivata } }\\ \hline{f(x)^{n}} & {n\cdot f(x)^{n-1}\cdot f'(x)} \\ \hline {e^{f(x)}} & {e^{f(x)}\cdot f'(x)}\\ \hline {\ln (f(x))} & {\frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)}\\ \hline {sen(f(x))} & {cos(f(x))\cdot f'(x)}\\ \hline {cos(f(x))} & {-sen(f(x))\cdot f'(x)} \\ \hline {arctg(f(x))} & {\frac{1}{1+ [f(x)]^2}\cdot f'(x)} \\ \hline \end{array}$$

Regole di derivazione

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Funzione } & \text{Derivata }  \\ \hline f(x)+g(x) & f'(x)+g'(x) \\ \hline k\cdot f(x) & k\cdot f'(x) \\ \hline f(x)\cdot g(x) & f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x) \\ \hline \frac{f(x)}{g(x)} & \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \\ \hline f(g(x)) & f'(g(x))\cdot g'(x) \\ \hline f(x)^{g(x)} & f(x)^{g(x)} \cdot \left[g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)\cdot f'(x)}{f(x)}\right] \\ \hline \end{array}$$

Tabella derivate di funzioni goniometriche

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Funzione } f(x) & \text{Derivata } f'(x) \\ \hline sen\,x & cos\,x \\ \hline cos\,x & -sen\,x \\ \hline tgx & \frac{1}{cos^2x}=1+tg^2x \\ \hline cotgx & -\frac{1}{sen^2 x}=-(1+cotg^2x) \\ \hline arcsen\,x & \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \hline arccos\,x & -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \hline arctg\,x & \frac{1}{1+x^2} \\ \hline arccotg\,x & -\frac{1}{1+x^2} \\ \hline \end{array}$$

Tabella derivate di funzioni potenza, logaritmi, esponenziali

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Funzione } f(x) & \text{Derivata } f'(x) \\ \hline k \text{ (costante)} & 0 \\ \hline x^n & nx^{n-1} \\ \hline e^x & e^x \\ \hline a^{x} & a^x \ln(a) \\ \hline \ln(x) & \frac{1}{x} \\ \hline \log_{a}(x) & \frac{1}{x}\log_{a}(e) \\ \hline \end{array}$$