Formulario degli Integrali.
Come calcolare gli integrali? Ti devi ricordare prima di tutto cosa significa calcolare l'integrale di una funzione. Ma ti può essere utile conoscere le formule degli integrali:
L'integrale è un operatore lineare. Infatti valgono le due proprietà di linearità:
1. lineare rispetto alla somma £$\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx $££$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline{\text{Potenze ed esponenziali}}\\ \hline{\int x^{\alpha} dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha +1}+c, \ \alpha \ne -1}\\ \hline {\int \frac{1}{x}dx=\ln |x| +c} \\ \hline {\int e^{x} dx =e^{x}+c} \\ \hline {\int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+c} \\ \hline \end{array}$£
£$\begin{array}{|cccc|c|c|c|}\hline{\text{Funzioni goniometriche}}\\ \hline{\int sen\,x\,dx=-cos\,x+c}\\ \hline {\int cos\,x \,dx=sen\,x +c} \\ \hline {\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsen\,x+c} \\ \hline {\int \frac{1}{1+x^2}dx=arctg\,x +c} \\ \hline \end{array}$£
£$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline{\text{Potenze ed esponenziali}}\\ \hline{\int [f(x)]^{\alpha}\cdot f'(x) dx = \frac{[f(x)]^{\alpha + 1}}{\alpha +1}+c, \ \alpha \ne -1}\\ \hline {\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)| +c} \\ \hline {\int f'(x)\cdot e^{f(x)} dx =e^{f(x)}+c} \\ \hline {\int f'(x)\cdot a^{f(x)}dx=\frac{a^{f(x)}}{\ln a}+c} \\ \hline \end{array}$£
£$\begin{array}{|cccc|c|c|c|}\hline{\text{Funzioni goniometriche}}\\ \hline{\int f'(x)\cdot sen\,f(x)\,dx=-cos\,f(x)+c}\\ \hline {\int f'(x)\cdot cos\,f(x) \,dx=sen\,f(x) +c} \\ \hline {\int \frac{f'(x)}{\sqrt{a^2-[f(x)]^2}}dx=arcsen\,\frac{f(x)}{|a|}+c} \\ \hline {\int \frac{1}{a^2+[f(x)]^2}dx=\frac{1}{a}arctg\,\frac{f(x)}{a} +c} \\ \hline \end{array}$£
Come calcolare £$\int f(x)dx $£ con il metodo di sostituzione? Ecco i passaggi per il calcolo dell'integrale £$\int (2x+1)^2dx$£:
1. sostituisci una "parte" della funzione con la variabile ausiliaria £$t$£ £$\Rightarrow 2x+1=t$£Il metodo di integrazione per parti viene usato quando si deve calcolare l'integrale del prodotto di due funzioni. Questa è la formula
£$\int [f(x)\cdot g'(x)] dx = f(x)\cdot g(x) - \int [f'(x)\cdot g(x)]dx$£
Come scegliere chi è £$f(x)$£ e chi è £$g'(x)$£? Di solito £$g'(x)$£ è la funzione che già sappiamo integrare mentre £$f(x)$£ è la funzione con una derivata semplice o che si abbassa di grado.
Esempio: calcoliamo £$\int x\ln(x) dx$£ con il metodo di integrazione per parti:
1. scegliamo £$f(x)=\ln(x)$£ perché la derivata è semplice (e l'integrale non banale) e £$g'(x)=x$£ quindi £$f'(x)=\frac{1}{x}$£ e £$g(x)=\frac{x^2}{2}$£
2. applichiamo la formula £$\Rightarrow \int x\ln(x)dx=\frac{x^2}{2}\ln(x)-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx$£
3. calcoliamo l'integrale £$\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx=\int \frac{x}{2}dx = \frac{x^2}{4}+c$£
4. abbiamo calcolato l'integrale £$\int x\ln(x)dx=\frac{x^2}{2}\ln(x)-\frac{x^2}{4}+c$£
La formula per calcolare il volume di un solido è:
$$V=\int_a^b S(x) \ dx$$
dove £$S(x)$£ è l'area di una qualsiasi sezione del solido con un piano perpendicolare all'asse £$x$£ al variare di £$x$£ nell'intervallo £$[a,b]$£
La formula per calcolare il volume di un solido di rotazione nell'intervallo £$[a,b]$£ è:
$$V=\int_a^b \pi f^2(x) \ dx$$
dove la rotazione avviene attorno all'asse £$x$£. In caso di rotazione intorno all'asse £$y$£, è necessario fare un cambio di variabili per gli estremi dell'intervallo di integrazione e utilizzare la funzione inversa dell'integranda.
