Dominio: come calcolarlo
Il primo passaggio nello studio di funzione è il calcolo del dominio. Ricordi cos'è il dominio di una funzione? È l'insieme dei valori che hanno un'immagine nell'insieme di arrivo della funzione. Nel caso di funzioni numeriche, il dominio sarà un sottoinsieme dell'insieme £$\mathbb{R}$£ dei numeri reali.
Cosa dobbiamo guardare per calcolare il dominio di una funzione:
1. Se la variabile £$x$£ è al denominatore, dobbiamo imporre che questo sia diverso da zero.
Esempio: il dominio della funzione £$y=\frac{2x}{x-1}$£ è £$D=\mathbb{R}\setminus \{1\}=(-\infty, 1)\cup (1, +\infty)$£ perché per £$x=1$£ il denominatore è uguale a zero e la funzione non è definita.
2. Se è presente una radice di indice pari, l'argomento della radice (cioè quello che sta sotto la radice) deve essere maggiore o uguale a zero.
Esempio: per trovare il dominio della funzione £$y=\sqrt{x^2-4}$£ dobbiamo risolvere la disequazione £$x^2-4\ge 0 $£ che ha come soluzione £$x \le -2 \vee x \ge 2$£. Il dominio della funzione è £$D=(-\infty,-2)\cup (2,+\infty)$£
3. Ricorda che il logaritmo deve avere come argomento un numero positivo. Quindi se c'è un logaritmo nell'espressione della funzione, devi imporre che l'argomento sia maggiore (stretto) di zero.
Esempio: la funzione £$y=\ln(x-4)$£ ha come dominio l'insieme £$D=(4, +\infty)$£ perché deve essere £$x-4>0 \to x>4$£
Questi sono i tre principali casi che ti troverai di fronte. Ovviamente se dovessi avere più di una di queste situazioni, dovrai risolvere il sistema con le condizioni di esistenza.
Esempio: calcoliamo il dominio della funzione £$y=\frac{1}{\ln(x)}$£. Dato che abbiamo un denominatore, questo deve essere diverso da zero quindi £$\ln(x)\ne 0 $£. Ma c'è anche il logaritmo! Quindi l'argomento deve essere positivo, cioè £$x>0$£. Allora dobbiamo risolvere il sistema:
£$\begin{cases} \ln(x)\ne 0 \\ x >0 \end{cases} \to \begin{cases} x \ne 1 \\ x >0 \end{cases}$£
Allora il dominio è l'insieme £$D=(0,1) \cup (1,+\infty)$£