Come fare uno studio di funzione: metodi

Il primo passaggio nello studio di funzione è il calcolo del dominio. Ricordi cos'è il dominio di una funzione? È l'insieme dei valori che hanno un'immagine nell'insieme di arrivo della funzione. Nel caso di funzioni numeriche, il dominio sarà un sottoinsieme dell'insieme £$\mathbb{R}$£ dei numeri reali.

Cosa dobbiamo guardare per calcolare il dominio di una funzione:

1. Se la variabile £$x$£ è al denominatore, dobbiamo imporre che questo sia diverso da zero.
Esempio: il dominio della funzione £$y=\frac{2x}{x-1}$£ è £$D=\mathbb{R}\setminus \{1\}=(-\infty, 1)\cup (1, +\infty)$£ perché per £$x=1$£ il denominatore è uguale a zero e la funzione non è definita.

2. Se è presente una radice di indice pari, l'argomento della radice (cioè quello che sta sotto la radice) deve essere maggiore o uguale a zero.
Esempio: per trovare il dominio della funzione £$y=\sqrt{x^2-4}$£ dobbiamo risolvere la disequazione £$x^2-4\ge 0 $£ che ha come soluzione £$x \le -2 \vee x \ge 2$£. Il dominio della funzione è £$D=(-\infty,-2)\cup (2,+\infty)$£

3. Ricorda che il logaritmo deve avere come argomento un numero positivo. Quindi se c'è un logaritmo nell'espressione della funzione, devi imporre che l'argomento sia maggiore (stretto) di zero.
Esempio: la funzione £$y=\ln(x-4)$£ ha come dominio l'insieme £$D=(4, +\infty)$£ perché deve essere £$x-4>0 \to x>4$£

Questi sono i tre principali casi che ti troverai di fronte. Ovviamente se dovessi avere più di una di queste situazioni, dovrai risolvere il sistema con le condizioni di esistenza.
Esempio: calcoliamo il dominio della funzione £$y=\frac{1}{\ln(x)}$£. Dato che abbiamo un denominatore, questo deve essere diverso da zero quindi £$\ln(x)\ne 0 $£. Ma c'è anche il logaritmo! Quindi l'argomento deve essere positivo, cioè £$x>0$£. Allora dobbiamo risolvere il sistema:

£$\begin{cases} \ln(x)\ne 0 \\ x >0 \end{cases} \to \begin{cases} x \ne 1 \\ x >0 \end{cases}$£

Allora il dominio è l'insieme £$D=(0,1) \cup (1,+\infty)$£

Il secondo passaggio da fare in uno studio di funzione è controllare eventuali simmetrie, cioè se la funzione è pari (simmetrica rispetto all'asse £$y$£) o dispari (simmetrica rispetto all'origine degli assi). Quali sono i passaggi? Eccoli:

1. guarda il dominio della funzione: se il dominio non è simmetrico rispetto a £$0$£ allora la funzione non potrà avere simmetrie.
Esempio: se il dominio della funzione è £$D=(-\infty, 2)\cup (2,+\infty)$£ allora la funzione non ha simmetrie. Invece potrebbe essere simmetrica una funzione che ha come dominio l'insieme £$(-\infty, -1) \cup (-1,1)\cup (1,+\infty)$£ perché è un insieme simmetrico rispetto all'origine.

2. una funzione è pari se £$f(x)=f(-x)$£. Per calcolare £$f(-x)$£ basta sostituire £$-x$£ al posto di £$x$£ nella funzione e verificare se vale l'uguaglianza.
Esempio: la funzione £$y=1-x^2$£ è pari perché £$f(-x)=1-(-x)^2=1-x^2=f(x)$£

3. una funzione è dispari se £$f(-x)=-f(x)$£. In questo caso, basta verificare l'uguaglianza delle due espressioni.
Esempio: £$f(x)=x^3$£ è dispari perché £$f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$£

Se una funzione è simmetrica, possiamo studiarla solo per £$x\ge 0 $£ e poi fare la simmetria del grafico trovato.

Trovare dove la funzione da studiare interseca gli assi è importante per iniziare a capire quale sarà il grafico probabile. Per trovare le intersezioni con gli assi basta mettere a sistema la funzione con l'equazione degli assi (uno alla volta).

Intersezione asse £$x$£: £$\begin{cases} y=f(x) \\ y=0 \end{cases}$£

Intersezione asse £$y$£: £$\begin{cases} y=f(x) \\ x=0 \end{cases}$£

Studiare il segno della funzione serve a capire dove passa il grafico della funzione. Infatti, trovando gli intervalli di positività e negatività, è possibile escludere alcune parti di piano e iniziare a descrivere il possibile andamento della funzione.

Come affrontare questo passaggio? Semplice. Basta risolvere la disequazione £$f(x)\ge 0 $£. Una volta risolta, possiamo cancellare le parti di piano che sappiamo non essere attraversate dalla funzione.

Esempio: studiamo il segno della funzione £$y=\ln(x)$£, cioè risolviamo £$\ln(x)\ge 0$£. Abbiamo £$x\ge 1$£. Quindi tra £$0$£ e £$1$£ la funzione è negativa e possiamo cancellare la parte delle £$x$£ positive perché sappiamo che il grafico della funzione non passa da lì. Invece nella parte in cui £$x$£ è maggiore di £$1$£, cancelliamo la parte negativa perché la funzione è positiva.

Il calcolo dei limiti di una funzione è importante per capirne il comportamento all'infinito e vicino ai punti critici del dominio, dove ci sono delle discontinuità della funzione.

Per capire quali limiti calcolare, è necessario guardare il dominio della funzione. Infatti basta calcolare i limiti nei punti che sono estremi del dominio.

Esempio: se il dominio della funzione è l'insieme £$\mathbb{R}=(-\infty, +\infty) $£ allora ci basta calcolare £$\lim\limits_{x\to \pm \infty}f(x)$£.
Se invece il dominio della funzione dovesse essere £$(-\infty, 1)\cup (1,+\infty)$£ allora, oltre a calcolare i limiti a £$\pm \infty$£, dobbiamo calcolare £$\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)$£ e £$\lim\limits_{x \to 1^{+}}f(x)$£ per capire come si comporta la funzione vicino al punto in cui si spezza il dominio, per capire di che tipo di punto di discontinuità si tratta.

Nel caso £$\lim\limits_{x\to \pm \infty}f(x) = \infty$£ la funzione potrebbe avere un asintoto obliquo. Per calcolarlo dobbiamo:

1. calcolare £$\lim\limits_{x\to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=m$£: se questo limite è finito (e diverso da zero) allora questo è uguale al coefficiente angolare dell'asintoto obliquo. Altrimenti la funzione non ha asintoto obliquo.

2. se il limite precedente è finito (e diverso da zero) dobbiamo calcolare £$\lim\limits_{x\to \pm \infty}f(x)-mx=q$£ cioè troviamo il termine noto del nostro asintoto obliquo.

Lo studio della derivata prima della funzione ci permette di:

1. trovare gli intervalli di monotonia della funzione: dove cresce e dove decresce studiando il segno della derivata prima

2. calcolare i punti di massimo, di minimo e i flessi a tangente orizzontale: dove la derivata, la funzione può avere un massimo (se a sinistra la derivata è positiva e a destra negativa), un minimo (se a sinistra la derivata è negativa e a destra è positiva) oppure un flesso a tangente orizzontale (se la derivata non cambia segno in corrispondenza del punto in cui la derivata si annulla)

3. trovare eventuali punti di non derivabilità, calcolando i limiti della derivata vicino agli estremi del dominio della derivata

Lo studio della derivata seconda della funzione ci permette di:

1. trovare gli intervalli in cui la funzione è concava verso l'alto (quando la derivata seconda è positiva) oppure concava verso il basso (quando la derivata seconda è negativa). Per farlo basta studiare il segno della derivata seconda.

2. calcolare i punti di flesso a tangente obliqua che sono i punti in cui la funzione cambia la concavità e la derivata prima ha un valore finito. I punti di flesso a tangente obliqua sono quelli che annullano la derivata seconda