Come fare uno studio di funzione: metodi

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Ripassa per l'esame di Matematica dell'Università i passaggi per fare lo studio di funzione.

Ci sono due metodi per fare lo studio di una funzione: il primo consiste nel seguire tutti i passaggi uno per uno, il secondo metodo è più veloce, ma richiede molta attenzione e si basa sul concetto di composizione di funzioni.

In questa lezione (e in tutto il capitolo) vedrai come affrontare al meglio lo studio di funzione con tanti video che illustrano degli esempi completi di spiegazione!

Appunti

Ci sono due metodi per fare lo studio di una funzione.

Il primo consiste nel seguire tutti i passaggi uno per uno. Ma quali sono questi passaggi? Rivediamoli con ordine:

  1. dominio
  2. (eventuali) simmetrie
  3. intersezioni con gli assi
  4. segno della funzione
  5. limiti
  6. calcolo della derivata prima, monotonia, massimi e minimi
  7. calcolo della derivata seconda, concavità, flessi
  8. grafico

Ovviamente è sempre meglio aggiornare il grafico probabile ogni volta che si trovano nuove informazioni sulla funzione. In questo modo è sempre possibile accorgersi di un eventuale errore nel caso le informazioni risultino contraddittorie.

Il secondo metodo è sì più veloce, ma richiede molta attenzione e una buona conoscenza delle funzioni studiate fino a ora. In pratica si basa sul concetto di composizione di funzioni: si parte dalla funzione più "interna" per poi applicare tutte le trasformazioni dovute alla composizione di funzioni. È importante ricordare le proprietà delle funzioni che applichiamo (dominio, limiti...). È sicuramente un metodo molto veloce, ma rischioso per quelli che non ricordano (o hanno capito in parte) le funzioni studiate finora.

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Dominio: come calcolarlo

Il primo passaggio nello studio di funzione è il calcolo del dominio. Ricordi cos'è il dominio di una funzione? È l'insieme dei valori che hanno un'immagine nell'insieme di arrivo della funzione. Nel caso di funzioni numeriche, il dominio sarà un sottoinsieme dell'insieme £$\mathbb{R}$£ dei numeri reali.

Cosa dobbiamo guardare per calcolare il dominio di una funzione:

1. Se la variabile £$x$£ è al denominatore, dobbiamo imporre che questo sia diverso da zero.
Esempio: il dominio della funzione £$y=\frac{2x}{x-1}$£ è £$D=\mathbb{R}\setminus \{1\}=(-\infty, 1)\cup (1, +\infty)$£ perché per £$x=1$£ il denominatore è uguale a zero e la funzione non è definita.

2. Se è presente una radice di indice pari, l'argomento della radice (cioè quello che sta sotto la radice) deve essere maggiore o uguale a zero.
Esempio: per trovare il dominio della funzione £$y=\sqrt{x^2-4}$£ dobbiamo risolvere la disequazione £$x^2-4\ge 0 $£ che ha come soluzione £$x \le -2 \vee x \ge 2$£. Il dominio della funzione è £$D=(-\infty,-2)\cup (2,+\infty)$£

3. Ricorda che il logaritmo deve avere come argomento un numero positivo. Quindi se c'è un logaritmo nell'espressione della funzione, devi imporre che l'argomento sia maggiore (stretto) di zero.
Esempio: la funzione £$y=\ln(x-4)$£ ha come dominio l'insieme £$D=(4, +\infty)$£ perché deve essere £$x-4>0 \to x>4$£

Questi sono i tre principali casi che ti troverai di fronte. Ovviamente se dovessi avere più di una di queste situazioni, dovrai risolvere il sistema con le condizioni di esistenza.
Esempio: calcoliamo il dominio della funzione £$y=\frac{1}{\ln(x)}$£. Dato che abbiamo un denominatore, questo deve essere diverso da zero quindi £$\ln(x)\ne 0 $£. Ma c'è anche il logaritmo! Quindi l'argomento deve essere positivo, cioè £$x>0$£. Allora dobbiamo risolvere il sistema:

£$\begin{cases} \ln(x)\ne 0 \\ x >0 \end{cases} \to \begin{cases} x \ne 1 \\ x >0 \end{cases}$£

Allora il dominio è l'insieme £$D=(0,1) \cup (1,+\infty)$£

Simmetrie: funzioni pari o dispari?

Il secondo passaggio da fare in uno studio di funzione è controllare eventuali simmetrie, cioè se la funzione è pari (simmetrica rispetto all'asse £$y$£) o dispari (simmetrica rispetto all'origine degli assi). Quali sono i passaggi? Eccoli:

1. guarda il dominio della funzione: se il dominio non è simmetrico rispetto a £$0$£ allora la funzione non potrà avere simmetrie.
Esempio: se il dominio della funzione è £$D=(-\infty, 2)\cup (2,+\infty)$£ allora la funzione non ha simmetrie. Invece potrebbe essere simmetrica una funzione che ha come dominio l'insieme £$(-\infty, -1) \cup (-1,1)\cup (1,+\infty)$£ perché è un insieme simmetrico rispetto all'origine.

2. una funzione è pari se £$f(x)=f(-x)$£. Per calcolare £$f(-x)$£ basta sostituire £$-x$£ al posto di £$x$£ nella funzione e verificare se vale l'uguaglianza.
Esempio: la funzione £$y=1-x^2$£ è pari perché £$f(-x)=1-(-x)^2=1-x^2=f(x)$£

3. una funzione è dispari se £$f(-x)=-f(x)$£. In questo caso, basta verificare l'uguaglianza delle due espressioni.
Esempio: £$f(x)=x^3$£ è dispari perché £$f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$£

Se una funzione è simmetrica, possiamo studiarla solo per £$x\ge 0 $£ e poi fare la simmetria del grafico trovato.

Intersezioni con gli assi

Trovare dove la funzione da studiare interseca gli assi è importante per iniziare a capire quale sarà il grafico probabile. Per trovare le intersezioni con gli assi basta mettere a sistema la funzione con l'equazione degli assi (uno alla volta).

Intersezione asse £$x$£: £$\begin{cases} y=f(x) \\ y=0 \end{cases}$£

Intersezione asse £$y$£: £$\begin{cases} y=f(x) \\ x=0 \end{cases}$£

Segno della funzione

Studiare il segno della funzione serve a capire dove passa il grafico della funzione. Infatti, trovando gli intervalli di positività e negatività, è possibile escludere alcune parti di piano e iniziare a descrivere il possibile andamento della funzione.

Come affrontare questo passaggio? Semplice. Basta risolvere la disequazione £$f(x)\ge 0 $£. Una volta risolta, possiamo cancellare le parti di piano che sappiamo non essere attraversate dalla funzione.

Esempio: studiamo il segno della funzione £$y=\ln(x)$£, cioè risolviamo £$\ln(x)\ge 0$£. Abbiamo £$x\ge 1$£. Quindi tra £$0$£ e £$1$£ la funzione è negativa e possiamo cancellare la parte delle £$x$£ positive perché sappiamo che il grafico della funzione non passa da lì. Invece nella parte in cui £$x$£ è maggiore di £$1$£, cancelliamo la parte negativa perché la funzione è positiva.

Calcolare i limiti di una funzione

Il calcolo dei limiti di una funzione è importante per capirne il comportamento all'infinito e vicino ai punti critici del dominio, dove ci sono delle discontinuità della funzione.

Per capire quali limiti calcolare, è necessario guardare il dominio della funzione. Infatti basta calcolare i limiti nei punti che sono estremi del dominio.

Esempio: se il dominio della funzione è l'insieme £$\mathbb{R}=(-\infty, +\infty) $£ allora ci basta calcolare £$\lim\limits_{x\to \pm \infty}f(x)$£.
Se invece il dominio della funzione dovesse essere £$(-\infty, 1)\cup (1,+\infty)$£ allora, oltre a calcolare i limiti a £$\pm \infty$£, dobbiamo calcolare £$\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)$£ e £$\lim\limits_{x \to 1^{+}}f(x)$£ per capire come si comporta la funzione vicino al punto in cui si spezza il dominio, per capire di che tipo di punto di discontinuità si tratta.

Nel caso £$\lim\limits_{x\to \pm \infty}f(x) = \infty$£ la funzione potrebbe avere un asintoto obliquo. Per calcolarlo dobbiamo:

1. calcolare £$\lim\limits_{x\to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=m$£: se questo limite è finito (e diverso da zero) allora questo è uguale al coefficiente angolare dell'asintoto obliquo. Altrimenti la funzione non ha asintoto obliquo.

2. se il limite precedente è finito (e diverso da zero) dobbiamo calcolare £$\lim\limits_{x\to \pm \infty}f(x)-mx=q$£ cioè troviamo il termine noto del nostro asintoto obliquo.

Derivata prima: studio dei massimi e dei minimi

Lo studio della derivata prima della funzione ci permette di:

1. trovare gli intervalli di monotonia della funzione: dove cresce e dove decresce studiando il segno della derivata prima

2. calcolare i punti di massimo, di minimo e i flessi a tangente orizzontale: dove la derivata, la funzione può avere un massimo (se a sinistra la derivata è positiva e a destra negativa), un minimo (se a sinistra la derivata è negativa e a destra è positiva) oppure un flesso a tangente orizzontale (se la derivata non cambia segno in corrispondenza del punto in cui la derivata si annulla)

3. trovare eventuali punti di non derivabilità, calcolando i limiti della derivata vicino agli estremi del dominio della derivata

Derivata seconda, concavità e flessi

Lo studio della derivata seconda della funzione ci permette di:

1. trovare gli intervalli in cui la funzione è concava verso l'alto (quando la derivata seconda è positiva) oppure concava verso il basso (quando la derivata seconda è negativa). Per farlo basta studiare il segno della derivata seconda.

2. calcolare i punti di flesso a tangente obliqua che sono i punti in cui la funzione cambia la concavità e la derivata prima ha un valore finito. I punti di flesso a tangente obliqua sono quelli che annullano la derivata seconda