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Teoremi sulle funzioni continue: teorema degli zeri e teorema di Weierstrass

Preparati per l'esame di Matematica dell'Università. I teoremi sulle funzioni continue danno molte informazioni sul comportamento delle funzioni continue: scopri come usare il teorema degli zeri e il teorema di Weierstrass.

I limiti sono importanti per lo studio di funzione quando si analizzano continuità e asintoti, ma sono implicitamente importanti anche quando si studiano le derivate e gli integrali. Il teorema degli zeri e quello di Weierstrass ci aiutano a capire se stiamo studiando correttamente una funzione e sono utili per dimostrare i teoremi delle derivate e alcuni degli integrali.

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Prerequisiti per Teoremi sulle funzioni continue
Teorema degli zeri
Teorema di Weierstrass
Esercizi

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Prerequisiti per Teoremi sulle funzioni continue

Teorema degli zeri

Il teorema degli zeri assicura che il grafico di una funzione continua che assume valori positivi e negativi in un intervallo £$[a,b]$£ interseca l'asse £$x$£ almeno una volta. Tutte le funzioni che rispettano questa proprietà sono continue nell'intervallo £$[a,b]$£ e tali che £$f(a) \cdot f(b) <0$£

Con il teorema degli zeri possiamo dimostrare che tutti i polinomi di grado dispari si annullano almeno una volta.
Gli esercizi svolti ti aiuteranno a prepararti per i quesiti della maturità.

Teorema di Weierstrass

L'enunciato del teorema di Weierstrass dice che ogni funzione £$f$£ continua nell'intervallo £$[a,b]$£ chiuso e limitato ammette massimo e minimo assoluti nell'intervallo £$[a,b]$£.

Il massimo assolutodi una funzione è il più grande valore assunto dalla funzione nel dominio, il minimo assoluto, invece, è il più piccolo valore assunto dalla funzione nel dominio. Se anziché considerare tutto il dominio prendiamo solo un suo sottoinsieme, allora troviamo i valori massimi e minimi assunti dalla funzione in quel sottoinsieme. Questi punti si chiamano massimi e minimi relativi.

Ricorda che il teorema di Weiwerstrass è una condizione sufficiente ma non necessaria cioè se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato allora ammette massimo e minimo assoluti, ma esistono funzioni non continue in un intervallo chiuso e limitato che ammettono massimo e minimo assoluti nell'intervallo considerato.