Esercizi svolti, appunti e video lezioni su Derivate delle funzioni in due variabili per la preparazione all’esame di Matematica dell’Università.

Derivate delle funzioni in due variabili

Preparati per l'esame di Matematica dell'Università. Come calcolare la derivata di una funzione in due variabili? Sicuramente bisogna fare attenzione: qui le variabili in gioco sono due, £$x$£ e £$y$£. Quindi dobbiamo derivare, ma rispetto a quale variabile? Prima rispetto a £$x$£ e poi rispetto a £$y$£. In questo modo avremo due derivate che chiameremo derivate parziali. Ma allora le derivate seconde saranno quattro!

Nelle funzioni in due variabili possiamo, anzi dobbiamo, calcolare le derivate.
Qui il discorso si fa complesso. Infatti avendo a che fare con una superficie, esistono infinite direzioni in cui possiamo calcolare la derivata.
Noi calcoleremo un particolare tipo di derivate direzionali: le derivate parziali.

Il calcolo delle derivate parziali è semplice se ti ricordi le regole di derivazione delle funzioni in una variabile.

Le derivate parziali formano un vettore. Il vettore delle derivate parziali è chiamato gradiente e si indica, solitamente, con il simbolo £$\nabla f$£.

Qual è il significato geometrico del gradiente? Indica la direzione di massima crescita (o decrescita) della funzione.

Se prendiamo il grafico delle curve di livello, i gradienti sono in ogni punto perpendicolari alle curve di livello.

Tutto questo vale però nei punti dove la funzione è differenziabile. Cosa significa? Guarda la lezione e lo scoprirai.

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Derivate direzionali

Come fare la derivata di una funzione in due variabili? Qui potrebbe sorgere un problema. Infatti mentre nelle funzioni in una variabile reale avevamo la variabile indipendente e quella dipendente, qui abbiamo due variabili indipendenti. Rispetto a quale variabile facciamo la derivata? La risposta è: rispetto a tutt'e due!

Quali informazioni ci dava la derivata della funzione in un punto? Beh ci diceva se la funzione stava crescendo o decrescendo. Ma in una variabile avevamo una sola direzione (da destra verso sinistra). Nelle funzioni in due variabili, le direzioni possono essere infinite. E come facciamo a calcolarle? Con le derivate direzionali.

Per prima cosa, scegliamo una direzione che è data da un versore (vettore di norma £$1$£) £$\vec{v}\,(v_{1},v_{2})$£. Il numero £$v_{1}$£ si riferisce allo spostamento lungo le £$x$£ mentre £$v_{2}$£ indica lo spostamento lungo le £$y$£.
Allora se vogliamo calcolare la variazione della funzione nel punto £$P(x_{P};y_{P})$£ lungo la direzione data da £$\vec{v}$£ dobbiamo calcolare
$$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f(x_{P}+hv_{1},y_{P}+hv_{2})-f(x_{P},y_{P})}{h}$$

Se questo limite esiste finito, abbiamo la derivata direzionale della funzione £$f$£ nel punto £$P$£ e viene indicata con £$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} (x_{P},y_{P})$£, £$f_{\mathbf{v}}(x,y)$£ oppure con £$D_{\mathbf{v}}(x_{P},y_{P})$£.
A prima vista può sembrare difficile calcolare questo limite. In realtà, l'unica variabile è £$h$£, il nostro incremento che tende a £$0$£. Quindi si tratta di un limite in una sola variabile (£$h$£ appunto).

Fortunatamente, capiterà di rado di calcolare queste derivate direzionali con il limite del rapporto incrementale. Ci sono infatti dei risultati (teoremi) che ci permettono di velocizzare (e di molto) questi calcoli.

Derivate parziali

Le derivate parziali sono un particolare tipo di derivate direzionali. Infatti sono le derivate direzionali lungo direzioni parallele agli assi £$x$£ e £$y$£. Quindi i versori saranno £$e_{1}(1,0)$£ e £$e_{2}(0,1)$£. Quindi se calcoliamo le derivata direzionali nel punto £$P$£ lungo la direzione data dai versori £$e_{1}$£ e £$e_{2}$£ abbiamo

$$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f(x_{P}+h,y_{P})-f(x_{P},y_{P})}{h} ,\quad \lim\limits_{h\to 0} \frac{f(x_{P},y_{P}+h)-f(x_{P},y_{P})}{h}$$

Cosa significa? In pratica stiamo sezionando la nostra funzione con piani paralleli all'asse £$x$£ oppure all'asse £$y$£ e passanti per il punto £$P$£. Così otteniamo due curve dove una variabile sta ferma mentre l'altra fa proprio la variabile.
In questo modo ci riconduciamo al concetto di derivata di funzione in una variabile. Infatti la derivata parziale rispetto a una variabile calcolata in un punto rappresenta proprio l'inclinazione della retta tangente la curva ottenuta dall'intersezione del grafico della funzione con il piano parallelo all'asse identificato con quella variabile.

Per calcolare le derivate parziali, basta ricordarsi le regole di derivazione delle funzioni in una variabile reale. Infatti visto che abbiamo effettivamente una sola variabile, basta derivare rispetto a quella e considerare l'altra come una costante.

ESEMPIO: la derivata parziale rispetto a £$x$£ della funzione £$f(x,y)=x^2+3xy$£ è £$f_{x}(x,y)=2x+3y$£ mentre la derivata parziale rispetto a £$y$£ è £$f_{y}(x,y)=3x$£ perché in questo caso il termine £$x^2$£ è una costante (infatti non ci muoviamo lungo la direzione £$x$£) e la derivata di una costante è £$0$£.

Per indicare le derivate parziali useremo i simboli £$f_{x}(x,y)$£, £$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$£ oppure £$\partial _{x}(x,y)$£. Ovviamente queste sono le derivate parziali rispetto a £$x$£. Per quelle rispetto a £$y$£ basta sostituire al posto di £$x$£ (non dentro la parentesi eh!).

Gradiente e piano tangente

Ora che abbiamo visto come calcolare le derivate parziali di una funzione in due variabili, scopriamo qual è l'utilità, cioè il loro significato geometrico.

Le due derivate parziali, valutate nel punto £$P$£ della funzione, formano un vettore. Questo vettore è chiamato gradiente della funzione nel punto £$P$£ e viene indicato

$$\nabla f(x_{P},y_{P})=\begin{bmatrix} f_{x}(x_{P},y_{P}) \\ f_{y}(x_{P},y_{P}) \end{bmatrix}$$

La derivata parziale rispetto a £$x$£ valutata nel punto £$P$£ ci dà la direzione della retta tangente alla curva ottenuta intersecando la funzione con il piano £$y=y_{P}$£. Allo stesso modo, la derivata parziale rispetto a £$y$£ ci dà la direzione della retta tangente alla curva ottenuta intersecando la funzione con il piano £$x=x_{P}$£. Queste due direzioni formano il piano tangente alla curva nel punto £$P$£.

In pratica abbiamo riprodotto ciò che avveniva in due dimensioni. Con la derivata trovavamo la retta tangente al grafico della funzione in un punto, o meglio, trovavamo il coefficiente angolare della retta tangente. Ora troviamo due coefficienti angolari che formano le direzioni di un piano. Questo piano è tangente alla superficie (grafico della funzione in due variabili) nel punto.

Qual è la posizione reciproca tra gradiente e piano tangente? Questi due oggetti sono perpendicolari! Infatti il gradiente valutato nel punto £$P$£ dà proprio i parametri direttori del piano tangente alla superficie in £$P$£. Ma un vettore che ha gli stessi parametri direttori di un piano è proprio perpendicolare al piano.

Allora l'equazione del piano tangente in un punto £$P$£ alla superficie è dato dall'equazione:

£$z=f_{x}(x_{P},y_{P})(x-x_{P})+f_{y}(x_{P},y_{P})(y-y_{P})+f(x_{P},y_{P})$£

Il gradiente ci dà la direzione di massima crescita (o decrescita, dipende dal verso del vettore) della funzione £$f$£ valutata nel punto. Per questo il gradiente sarà lo strumento ideale per lo studio dei massimi e dei minimi di una funzione in due variabili.

Il differenziale totale

Vogliamo cercare una condizione per le funzioni in due variabili che leghi continuità e derivabilità. Per le funzioni in una variabile sapevamo che funzione derivabile in un punto implica funzione continua nel punto. Questo significava che potevamo approssimare la funzione con una retta (la retta tangente al grafico) vicino ai punti in cui la funzione era derivabile.
Per le funzioni in due variabili abbiamo visto qualcosa di simile: infatti con le derivate parziali abbiamo costruito il piano tangente alla funzione nel punto.
Questo accade ogni volta che abbiamo una funzione differenziabile. Cosa significa? In pratica una funzione è differenziabile in un punto quando esiste il piano tangente alla superficie nel punto.
Il differenziale di una funzione £$f(x,y)$£ in un punto £$P$£ è £$df=f_{x}(x_{P},y_{P})dx+f_{y}(x_{P},y_{P})dy$£. Vediamo che questo è proprio il piano tangente nel punto £$P$£. Infatti, scrivendo:

  • £$dx=x-x_{P}$£ e £$dy=y-y_{P}$£
  • £$df=f(x-x_{P},y-y_{P})-f(x_{P},y_{P})$£

abbiamo proprio l'equazione del piano tangente in £$P$£: £$z=f(x_{P},y_{P})+f_{x}(x_{P},y_{P})(x-x_{P})+f_{y}(x_{P},y_{P})(y-y_{P})$£

Ci chiediamo: esiste una qualche condizione per essere sicuri che una funzione sia differenziabile? Sì (fortunatamente).
Teorema del differenziale totale. Data una funzione £$f(x,y)$£ definita su un insieme aperto £$A$£, se questa ammette derivate parziali prime continue in un intorno di un punto £$P$£ contenuto in £$A$£, allora la funzione £$f(x,y)$£ è differenziabile nel punto £$P$£.

E possibile dimostrare che se una funzione è differenziabile in un punto £$P$£ allora è anche continua in £$P$£.

Teorema del gradiente

Esiste una relazione che lega le derivate direzionali con le derivate parziali? Certo! Si chiama teorema del gradiente.

Teorema del gradiente. Data una funzione £$f(x,y)$£ differenziabile in un punto £$P(x_{P},y_{P})$£ e un versore (vettore di norma £$1$£) £$\vec{v}\,(a,b)$£. Allora esiste la derivata direzionale £$D_{v}f(x_{P},y_{P})$£ e vale la relazione

$$D_{v}f(x_{P},y_{P})=\nabla f(x_{P},y_{P})\cdot \vec{v}$$

dove £$\nabla f(x_{P},y_{P})\cdot \vec{v}=f_{x}(x_{P},y_{P})\cdot a+f_{y}(x_{P},y_{P})\cdot b=\| \nabla f (x_{P},y_{P}) \|\cdot \| \vec{v}\| \cdot cos\,\theta$£ è il prodotto scalare tra vettori.

Questo teorema risolve un sacco di problemi. Infatti ci dà un metodo facile per calcolare le derivate direzionali. Il risultato più importante è un altro. Vediamo che la derivata direzionale dipende dall'angolo £$\theta$£ che non è altro che l'angolo formato dal versore £$\vec{v}$£ e il gradiente £$\nabla f(x_{P},y_{P})$£. La derivata direzionale è quindi massima quando £$cos\,\theta=1$£ cioè quando £$\theta=0$£. Ma se l'angolo è nullo significa che il versore e il gradiente sono paralleli. Quindi il gradiente indica la direzione di massima crescita della funzione £$f(x,y)$£ vicino al punto £$P$£.