Esercizi svolti, appunti e video lezioni su Limiti e continuità in due variabili per la preparazione all’esame di Matematica dell’Università.

Limiti e continuità in due variabili

Preparati per l'esame di Matematica dell'Università. Come calcolare i limiti di una funzione in due variabili? Nello studio delle funzioni in due variabili è necessario imparare a calcolarne i limiti. Ma questa volta non c'è solo il limite destro e sinistro da calcolare. Ci possiamo avvicinare a un punto da qualunque direzione. Come fare? Scopri come calcolare i limiti di una funzione in due variabili e come capire se una funzione in due variabili sia continua oppure no.

Stiamo parlando di funzioni ed è quindi impossibile non parlare del calcolo dei limiti della funzione.
Ma come si calcolano i limiti di una funzione in due variabili? La risposta è semplice: allo stesso modo di come calcolavi i limiti di una funzione in una variabile.
L'unica differenza è capire come ci si avvicina al punto in cui vogliamo calcolare il limite. In una variabile era facile: una direzione e due versi (da destra e da sinistra). In due variabili invece ci sono infiniti modi per avvicinarsi a un punto. E un limite esiste se è finito e uguale per tutte le direzioni.
Detto così sembra un processo infinito. In realtà nella lezione imparerai a calcolare i limiti delle funzioni in due variabili e a verificare se una funzione è continua oppure no.

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Prerequisiti per Limiti e continuità in due variabili

Topologia del piano

Prima di addentrarci nel calcolo dei limiti delle funzioni in due variabili, è necessario spendere due parole sulla topologia del piano.
Cos'è la topologia? La topologia è lo studio delle figure e delle forme.
Ovviamente a noi interessa introdurre o adattare i concetti che abbiamo imparato nello studio di funzioni in una variabile (intorno, insieme aperto o chiuso, ecc...) alle funzioni in due variabili.
INTORNI
Un intorno di un punto £$P(x_{P};y_{P})$£ di raggio £$r$£ è l'insieme dei punti che hanno distanza da £$P$£ minore di £$r$£

£$I_{r}(P)=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \, : \sqrt{(x-x_{P})^2+(y-y_{P})^2} < r \}$£

TOPOLOGIA DEI PUNTI

Un punto può essere:

  • interno all'insieme, se il punto appartiene all'insieme ed esiste almeno un intorno tutto contenuto nell'insieme
  • esterno, se esiste almeno un intorno che non ha punti dell'insieme
  • di frontiera, se in ogni intorno del punto ci sono punti dell'insieme e punti che non appartengono all'insieme
  • di accumulazione per l'insieme se per ogni intorno del punto esiste almeno un altro punto (diverso dal primo) che appartiene all'insieme

TOPOLOGIA DEGLI INSIEMI

Un insieme può essere:

  • aperto se tutti i suoi punti sono interni
  • chiuso se è il suo complementare è un insieme aperto oppure se contiene tutti i suoi punti di accumulazione
  • né aperto né chiuso se esiste almeno un punto non interno all'insieme ma questo non contiene tutti i punti di accumulazione

Funzioni continue in due variabili

Le funzioni in due variabili possono essere continue oppure avere dei punti di discontinuità. La definizione di funzione continua in due variabili è la stessa di quella in una variabile.
Concettualmente, una funzione è continua quando non ha "buchi" o "salti". La definizione formale di funzione continua è:

Una funzione £$f(x,y)$£ definita in un insieme £$I$£ è continua in un punto £$P_{0}(x_{0};y_{0})$£ se esiste finito £$\lim\limits_{(x,y)\to (x_{0},y_{0})}f(x,y)$£ e questo limite è uguale al valore della funzione nel punto £$P_{0}$£.

Se la funzione è continua in tutti i punti di £$I$£, allora diremo che la funzione £$f(x,y)$£ è continua in £$I$£.

Tutte le funzioni intere sono continue in tutto £$\mathbb{R}^2$£. Per le funzioni razionali fratte invece, dobbiamo controllare che il denominatore sia diverso da zero.

ESEMPIO: la funzione £$f(x,y)=\frac{x+2y}{x-y}$£ è definita in tutti i punti di £$\mathbb{R}^2$£ tranne quelli in cui £$x-y=0 \to y=x$£. Quindi la funzione non è continua in tutti i punti della retta £$y=x$£.

Limiti di funzioni in due variabili

Cosa può succedere nel calcolo di limiti di funzioni in due variabili

Il calcolo dei limiti di una funzione in due variabili è concettualmente uguale al calcolo dei limiti in una variabile. Quindi il limite in un punto esiste ed e finito se, avvicinandomi al punto, la funzione e il limite sono "vicini".
Diamo la definizione formale di limite per £$(x,y)\to (x_{P_{0}},y_{P_{0}})$£, con £$P_{0}$£ punto di accumulazione per la funzione:

La funzione £$f(x,y)$£ ha limite finito £$\ell $£ per £$P(x;y)$£ che tende a £$P_{0}(x_{0};y_{0})$£ se comunque venga scelto e fissato un numero positivo £$\varepsilon$£ esiste un intorno circolare di £$P_{0}(x_{0};y_{0})$£ tale che per ogni punto di questo intorno valga £$|f(x,y)-\ell| < \varepsilon $£

Cosa significa tutto ciò? In pratica il limite esiste finito se, avvicinandomi al punto di accumulazione da qualsiasi direzione, la funzione assume un valore finito £$\ell$£.

La differenza con le funzioni in una variabile è il concetto di "direzione di avvicinamento": prima bastava fare il limite destro e il limite sinistro perché ci muovevamo lungo una retta. Ora ci muoviamo in uno spazio e quindi le direzioni sono infinite! Sicuramente diventa un po' più complicato.

Esercizio svolto sul calcolo dei limiti in due variabili

Calcoliamo il limite £$\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2 + y^2 − x^3y^3}{x^2 + y^2}$£

Per prima cosa, vediamo che in £$(0,0)$£ abbiamo la forma indeterminata £$\frac{0}{0}$£. Proviamo a risolverla. Iniziamo calcolando il limite lungo le direzioni £$y=mx$£. Cosa significa? Mi avvicino al punto in cui voglio calcolare il limite lungo le rette £$y=mx$£ e vedo cosa succede. Sostituiamo e abbiamo:

£$\lim\limits_{x \to 0}\frac{x^2 + m^2 x^2 − x^3 m^3 x^3}{x^2 + m^2 x^2}= \lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2(1 + m^2− x^4 m^3)}{x^2(1+m^2)}=1 $£

Quindi se il limite esiste, deve essere uguale a £$1$£ perché non è possibile avere due limiti diversi. Per avere conferma di questo, possiamo provare due strade:

1. calcolare il limite lungo altre direzioni, ad esempio lungo le parabole £$y=ax^2$£ e vedere se il limite è ancora £$1$£. Questo metodo però ci permette solo di capire se il limite non esiste (in caso il risultato sia diverso da £$1$£). Nel caso venga £$1$£ non possiamo concludere nulla.

2. dimostriamo che il valore £$|f(x,y)-1| \to 0$£ che è proprio la definizione di limite.

Scegliamo la seconda strada. Per velocizzare i calcoli, facciamo una sostituzione delle coordinate. Passiamo alle coordinate polari tramite la sostituzione

$$\begin{cases}x=\rho cos\,\theta \\ y=\rho sen\,\theta \end{cases}$$

dove £$\rho $£ è la distanza del punto dall'origine degli assi, mentre £$\theta$£ è l'angolo formato dall'asse £$x$£ e dalla retta che unisce il punto all'origine.

Sostituiamo nell'espressione della funzione:

£$|\frac{\rho^2 cos^2 \theta + \rho^2 sen^2 \theta -\rho^6 cos^3\theta \cdot sen^3 \theta}{\rho^2 cos^2 \theta + \rho^2 sen^2\theta}-1|=|\frac{\rho^2(cos^2 \theta + sen^2 \theta -\rho^4 cos^3\theta \cdot sen^3 \theta)-\rho^2 (cos^2\theta + sen^2\theta)}{\rho^2( cos^2 \theta +sen^2\theta)}|$£

Ora possiamo semplificare £$\rho^2$£ e usare la prima relazione fondamentale della goniometria £$cos^2\theta+sen^2\theta=1$£ e abbiamo

£$|1 -\rho^4 cos^3\theta \cdot sen^3 \theta-1|=|-\rho^4 cos^3\theta \cdot sen^3\theta| $£

Ma questa quantità tende a £$0$£ per £$\rho \to 0$£? Intanto osserviamo che la quantità £$|cos^3\theta\cdot sen^3\theta| \le 1$£ quindi possiamo maggiorare la quantità precedente

£$|-\rho^4 cos^3\theta \cdot sen^3\theta| \le |-\rho^4|=\rho^4 \to 0$£

Quindi abbiamo dimostrato che il limite della nostra funzione per £$(x,y)\to (0,0)$£ è uguale a £$1$£.