Definizione di funzione

Ma cos'è una funzione? Una funzione è una relazione che associa a OGNI elemento di un insieme £$A$£ UNO E UN SOLO elemento dell'insieme £$B$£
Se abbiamo il diagramma a frecce della relazione, per capire se abbiamo una funzione basta guardare l'insieme £$A$£ di partenza: da ogni elemento deve partire una sola freccia.
Una funzione ha espressione £$f: A \to B $£ dove £$A$£ è l'insieme di partenza o dominio della funzione e £$B$£ è l'insieme di arrivo.

Se £$x \in A$£ e £$y \in B$£ e la £$x$£ è in relazione con £$y $£ tramite la funzione diciamo che:

• £$y$£ è l'immagine di £$x$£ tramite £$f$£
• £$x$£ è la controimmagine £$y$£ tramite £$f$£

Il codominio è l'insieme delle immagini tramite la funzione £$f$£ cioè tutti gli elementi che "vengono raggiunti da almeno una freccia". In generale, il codominio è un sottoinsieme dell'insieme di arrivo!

Una funzione è numerica se l'insieme di partenza e quello di arrivo sono insiemi numerici, come £$\mathbb{N}, \, \mathbb{Z}, \, \mathbb{Q}, \, \mathbb{R}$£
L'espressione comune di una funzione numerica è £$y=f(x)$£:

• £$x$£ è la variabile indipendente
• £$y$£ è la variabile dipendente, immagine di £$x$£ tramite la funzione £$f$£

Per trovare il dominio della funzione è sufficiente trovare le C.E. dell'espressione della funzione. Per trovare il codominio, dobbiamo prima esplicitare la £$x$£, cioè scrivere l'espressione nella forma £$x=\ldots$£ e poi trovare le C.E. sulle £$y$£

Alcune funzioni cambiano espressione a seconda dei valori di £$x$£. Queste funzioni si chiamano funzioni definite a tratti.

Il classico esempio di funzione definita a tratti è la funzione valore assoluto. La sua espressione è

£$y=|x|=\begin{cases}x \ \quad \text{se } x\ge 0 \\ -x \ \ \text{se } x < 0\end{cases}$£

cioè se £$x\ge 0 $£ l'espressione è £$y=x$£ mentre se £$x < 0$£ diventa £$y = -x $£