Esercizi svolti, appunti e video lezioni su Introduzione allo studio di funzione per la preparazione all’esame di Matematica dell’Università.

Introduzione allo studio di funzione

Ripassa per l'esame di Matematica dell'Università i fondamentali dello studio di funzioni: che cosa sono gli zeri di una funzione e come studiare il segno di una funzione, infine scopri come si classificano le funzioni.

L'obiettivo dello studio di funzioni è capire il comportamento della funzione, cioè dei valori della £$y$£ al variare della £$x$£ per disegnare il grafico della funzione nel piano cartesiano.
Inizia con la definizione del dominio della funzione e la ricerca degli zeri della funzione. Dopo, bisogna studiare il segno della funzione, cioè capire in quali intervalli la funzione è positiva oppure negativa.

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Prerequisiti per imparare a fare uno studio di funzione

Cos'è il dominio di una funzione

Il dominio della funzione è l'insieme dei valori che può assumere la variabile £$x$£ in modo che esista la sua immagine £$ y=f(x)$£
Per le funzioni numeriche, il dominio coincide con le C.E. dell'espressione della funzione

Ad esempio, il dominio della funzione £$y=\frac{x}{x-2}$£ è tutto l'insieme £$\mathbb{R}$£ tranne £$x=2$£ perché il denominatore sarebbe uguale a £$0$£. Quindi non esiste l'immagine tramite la funzione di £$x=2$£ che quindi è escluso dal dominio.

Zeri e segno della funzione

Gli zeri della funzione sono i valori di £$x$£ del dominio che hanno come immagine £$y=0$£
Per trovare gli zeri della funzione, basta risolvere l'equazione £$f(x)=0$£

Una funzione può avere un solo zero, come ad esempio la funzione £$y=x$£, più di uno zero, come la funzione £$y=x^2-1$£ oppure può non avere zeri, come la funzione £$y=x^2 +1$£

Calcolare il segno della funzione serve a capire per quali valori la funzione è positiva (quindi il suo grafico sarà sopra l'asse delle ascisse) oppure negativa (e il suo grafico sarà sotto l'asse delle £$x$£).
Per calcolare il segno della funzione, basta risolvere la disequazione £$f(x)\ge 0$£ e trovare quindi gli intervalli di positività e negatività della funzione.

Una funzione può avere segno costante, cioè essere sempre positiva o sempre negativa in tutto il suo dominio, oppure può avere segno variabile.

Ad esempio, la funzione £$y=x^2+1$£ è sempre positiva perché £$x^2+1 $£ è maggiore di £$0$£ per ogni £$x \in \mathbb{R}$£ mentre la funzione £$ y = x^3$£ è positiva per £$x > 0$£ e negativa per £$x < 0$£

Classificazione delle funzioni

Le funzioni numeriche possono essere classificate in base alla loro espressione in forma esplicita £$y=f(x)$£
Le funzioni sono algebriche se ci sono solo operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza e radici.
Le funzioni trascendenti quelle che non sono algebriche, come ad esempio le funzioni esponenziali, le funzioni logaritmiche e le funzioni goniometriche.