Scomposizione di polinomi

Come scomporre i polinomi? In questa lezione vediamo come applicare i diversi metodi per scomporre in fattori un polinomio e scoprirai l'importanza dei prodotti notevoli. Guarda i video e fai gli esercizi per diventare un mago della scomposizione di polinomi!

Vuoi sapere come si fa la scomposizione di polinomi? Niente panico! Continuiamo il nostro viaggio nel calcolo letterale e in particolare nel mondo di monomi e polinomi. E' il momento di vedere come si scompone un polinomio.

In questa video lezione imparerai:

  • Scomposizione in fattori e polinomi riducibili: definizione di polinomio riducibile e sua scomposizione in fattori
  • Raccoglimento a fattore comune: vediamo i due metodi di scomposizione di un polinomio riducibile
  • Polinomi riconducibili a prodotti notevoli: come riconoscere i prodotti notevoli in un polinomio
  • Trinomi particolari: sono trinomi particolari quelli che hanno una precisa relazione tra i suoi coefficienti
  • Zeri di un polinomio e scomposizione con Ruffini: definizione di zero di un polinomio e relazione con la scomposizione col metodo di Ruffini

Allenati con le nostre video lezioni e con gli esercizi tutti svolti e spiegati sulla scomposizione di polinomi!

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Prerequisiti per imparare a scomporre i polinomi

I prerequisiti per imparare a scomporre i polinomi sono:

Scomposizione in fattori e polinomi riducibili

Un polinomio è riducibile quando possiamo riscriverlo come prodotto di altri polinomi di grado minore . In caso contrario è irriducibile. Come la maggior parte dei numeri (ad eccezione dei numeri primi) può essere scritta come prodotto di altri numeri più piccoli, anche la maggior parte dei polinomi può essere scritta come prodotto di polinomi di grado inferiore.
La scomposizione di un polinomio in fattori irriducibili è unica (così come è unica la scomposizione di un numero naturale in fattori primi).

Raccoglimento a fattor comune

Esistono due metodi per scomporre un polinomio:

  • Raccoglimento a fattore comune totale: se in tutti i termini del polinomio è presente uno stesso fattore (lettera o numero) possiamo "estrarre" il fattore da tutti i termini, dividendoli poi tutti per il fattore. Il polinomio è riscritto come prodotto del polinomio ottenuto per il fattore messo in evidenza.
  • Raccoglimento a fattore comune parziale: la stessa operazione può essere fatta anche quando il fattore è comune solamente ad alcuni termini del polinomio.

Guarda il video e poi allenati con gli esercizi svolti e spiegati sulla scomposizione dei polinomi.

Come scomporre i polinomi

Ora che hai visto come scomporre i polinomi, vorrai vedere qualche esercizio svolto! Eccoti due esercizi: nel primo troverai un esempio di scomposizione a fattor comune totale, nel secondo un esempio di scomposizione a fattor comune parziale.

Esercizi svolti

Sapere come scomporre i polinomi è molto importante perché ti permetterà in futuro di semplificare molto i calcoli. Allora abbiamo pensato di farti vedere altri due esempi svolti di scomposizione di polinomi. Ovviamente ti suggerisco anche di allenarti con gli esercizi: più pratica fai, meglio scomponi i polinomi!

Scomposizione in fattori rapida

Se il polinomio è un prodotto notevole, possiamo scomporlo "tornando indietro", riscrivendolo cioè come prodotto dei suoi fattori iniziali.
Ad esempio:

  • £$a^2+2ab+b^2$£ è un trinomio ma rispetta la struttura del quadrato di un binomio. Infatti ha due termini al quadrato e il doppio prodotto dei due elementi del binomio. Quindi £$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$£
  • Il polinomio £$a^2-b^2$£ è la differenza di due monomi elevati al quadrato. Abbiamo visto che questo è il risultato del prodotto notevole somma per differenza, quindi £$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$£

Nel video troverai altri esempi di scomposizione di un polinomio riconducibile a un prodotto notevole.
C'è poi un altro metodo di scomposizione molto usato che riguarda i trinomi particolari che si possono scomporre come prodotto di altri polinomi. Infatti se per un trinomio di secondo grado del tipo £$x^2+nx+m$£ esistono due numeri £$a$£ e £$b$£ tali che £$n=a+b$£ e £$m=a\cdot b$£ allora possiamo scomporre il trinomio in questo modo: £$x^2+nx+m=(x+a)(x+b)$£


Zeri di un polinomio e scomposizione con Ruffini

Grazie al teorema di Ruffini sappiamo che se troviamo un valore £$ a $£ che sostituito alla £$ x $£ del polinomio lo azzera (£$ a $£ è detto zero del polinomio) allora quel polinomio è divisibile esattamente per £$ (x-a) $£.
Quindi se troviamo uno zero di un polinomio troviamo anche il modo di scomporlo in due fattori £$ P(x)=(x-a)Q(x) $£ con £$ Q(x) $£ il quoziente della divisione: sappiamo infatti che non c'è resto.
Come facciamo però a trovare tutti gli zeri del polinomio?
Ci viene in aiuto una regola: se un numero intero annulla un polinomio a coefficienti interi, esso è un divisore del termine noto. Quindi possiamo cercare gli zeri del polinomio tra i divisori del termine noto.
Attenzione! Non tutti i divisori del termine noto sono zeri del polinomio.

Esercizi svolti Scomposizione di polinomi

Ecco gli esercizi su Scomposizione di polinomi in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Scomposizione in fattori. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Aritmetica e Algebra

Esercizi Scomposizione di polinomi - 1

Allenati con gli esercizi svolti e spiegati sulla scomposizione di polinomi. Ti ricordi come scomporre i polinomi? Imparalo con gli esercizi del livello 1!

Esercizi Scomposizione di polinomi - 2

Scomposizioni di polinomi ovunque! Ma è molto importante imparare a scomporre i polinomi e a riconoscere i prodotti notevoli. Allenati con gli esercizi svolti del livello 2.

Esercizi Scomposizione di polinomi - 3

Ormai scomporre i polinomi è un gioco da ragazzi/e! Ti senti pronto/a ad affrontare gli esercizi svolti e spiegati sulla scomposizione di polinomi del livello 3? Ricorda gli esercizi sono tutti svolti e spiegati!

#ScuolaACasa - la scuola è chiusa? Studia da casa!
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