Potenze e loro proprietà

Abbiamo studiato le potenze come «moltiplicazioni ripetute»: £$2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16$£
Ora però, invece di parlare solo di potenze (intese come veri e propri numeri), introduciamo la funzione esponenziale, dove l'incognita compare all'esponente £$f(x)=a^x$£

Il nostro problema è: come deve essere il numero reale affinché la funzione esista … cioè «sia definita»? Al variare dell'esponente £$x$£ abbiamo diverse possibilità.

Iniziamo a considerare esponenti come numeri interi, cioè £$x\in\mathbb{Z}$£:

• £$x>0$£: £$a^x$£ è definita per qualsiasi £$a$£
• £$x=0$£: £$a^x$£ è definita per £$a$£ diverso da £$0$£
• £$x<0$£: £$a^x$£ è definita per £$a$£ maggiore di £$0$£

Adesso consideriamo esponenti razionali (frazioni!), cioè £$x\in\mathbb{Q}$£:

• £$x>0$£: £$a^x$£ è definita per qualsiasi £$a$£ maggiore o uguale a £$0$£
• £$x=0$£: £$a^x$£ è definita per £$a$£ diverso da £$0$£
• £$x<0$£: £$a^x$£ è definita per £$a$£ maggiore di £$0$£

In sostanza, escludendo il caso particolare di esponente nullo, quando l'esponente è una frazione possiamo lavorare solo con basi positive, altrimenti arriveremmo a situazioni non accettabili.

A questo punto, la domanda che sorge spontanea è: possiamo considerare anche esponenti irrazionali? Ha senso scrivere un'espressione come £$ 5^{\sqrt{2}} $£?

La risposta è si! Possiamo cercare di riassumere la dimostrazione così:

• Il numero £$\sqrt2$£ è un numero irrazionale non periodico, cioè dopo la virgola ha infinite cifre che si susseguono senza un preciso ordine.
• Le successioni di numeri decimali finiti (cioè razionali!)
  1,4 1,41 1,414 1,4142 ... e 1,5 1,42 1,415 1,4143 ...
  approssimano £$\sqrt2$£ rispettivamente per difetto e per eccesso.
• Le successioni di numeri £$5^{1,4}$£ £$5^{1,41}$£ £$5^{1,414}$£ £$5^{1,4142}$£ .... £$5^{1,5}$£ £$5^{1,42}$£ £$5^{1,415}$£ £$5^{1,4143}$£ approssimano il numero reale , che quindi esiste!

Possiamo fare lo stesso ragionamento per una qualsiasi base positiva!
In particolare, possiamo distinguere due casi:

1. £$a>1, x>0$£ al crescere dell'esponente, le potenze £$a^x$£ diventano sempre più grandi.
   La potenza £$a^x$£ con esponente £$x$£ irrazionale è quell'unico numero reale che è:
   • maggiore di tutte le potenze di £$a$£ con esponenti razionali £$x$£ che approssimano per difetto;
   • minore di tutte le potenze £$a$£ di con esponenti razionali £$x$£ che approssimano per eccesso.
2. £$a<1, x>0$£ al crescere dell'esponente, le potenze £$a^x$£ diventano sempre più piccole.
   La potenza £$a^x$£ con esponente £$x$£ irrazionale è quell'unico numero reale che è:
   • minore di tutte le potenze di £$a$£ con esponenti razionali £$x$£ che approssimano per difetto
   • maggiore di tutte le potenze di £$a$£ con esponenti razionali £$x$£ che approssimano per eccesso.

Infine, quando l'esponente è irrazionale, valgono le proprietà che già conosciamo:

• £$1^x=1$£ per qualunque esponente irrazionale £$x$£
• £$0^x=0$£ per qualunque esponente irrazionale £$x$£ positivo
• £$a^0=1$£ per qualunque base reale £$a$£ positiva
• £$a^{-x}=\frac{1}{a^x}$£ per qualunque base reale £$a$£ positiva

Anche quando l'esponente è irrazionale, valgono le proprietà delle potenze.

• Prodotto di potenze con la stessa base £$a^x\cdot a^y=a^{x+y}$£
• Quoziente di potenze con la stessa base £$a^x:a^y=a^{x-y}$£
• Potenza di potenza £$(a^x)^y=a^{xy}$£
• Prodotto di potenze con stesso esponente £$a^x\cdot b^x=(a\cdot b)^x$£
• Quoziente di potenze con lo stesso esponente £$a^x: b^x=(a: b)^x$£