Prerequisiti per imparare le potenze e le loro proprietà
I prerequisiti per imparare le potenze e le loro proprietà sono:
Ripassa le potenze e vediamo insieme le potenze a esponente razionale e irrazionale. Fai un ripasso anche delle proprietà delle potenze prima di cominciare lo studio degli esponenziali.
Vuoi ripassare le potenze e le loro proprietà anche nei casi di esponenti non interi? Vuoi imparare le potenze a esponente razionale e irrazionale? Tutte questo ti servirà quando studierai meglio gli esponenziali!
In questa lezione imparerai:
I prerequisiti per imparare le potenze e le loro proprietà sono:
Abbiamo studiato le potenze come «moltiplicazioni ripetute»: £$2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16$£
Ora però, invece di parlare solo di potenze (intese come veri e propri numeri), introduciamo la funzione esponenziale, dove l'incognita compare all'esponente £$f(x)=a^x$£
Il nostro problema è: come deve essere il numero reale affinché la funzione esista … cioè «sia definita»? Al variare dell'esponente £$x$£ abbiamo diverse possibilità.
Iniziamo a considerare esponenti come numeri interi, cioè £$x\in\mathbb{Z}$£:
Adesso consideriamo esponenti razionali (frazioni!), cioè £$x\in\mathbb{Q}$£:
In sostanza, escludendo il caso particolare di esponente nullo, quando l'esponente è una frazione possiamo lavorare solo con basi positive, altrimenti arriveremmo a situazioni non accettabili.
A questo punto, la domanda che sorge spontanea è: possiamo considerare anche esponenti irrazionali? Ha senso scrivere un'espressione come £$ 5^{\sqrt{2}} $£?
La risposta è si! Possiamo cercare di riassumere la dimostrazione così:
Possiamo fare lo stesso ragionamento per una qualsiasi base positiva!
In particolare, possiamo distinguere due casi:
Infine, quando l'esponente è irrazionale, valgono le proprietà che già conosciamo:
Anche quando l'esponente è irrazionale, valgono le proprietà delle potenze.
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