Circonferenza e retta nel piano cartesiano: posizioni reciproche e tangente

Proviamo a stabilire la posizione di una retta rispetto a una circonferenza.

Una circonferenza di centro £$C$£ e raggio £$r$£, e una retta che ha distanza £$d$£ dal centro £$C$£ sono:

• secanti se hanno due punti distinti in comune: £$d < r$£
• tangenti se hanno un unico punto in comune: £$d=r$£
• esterne se non hanno punti in comune: £$d > r$£

Intersechiamo una circonferenza e una retta: scriviamo il sistema £$\begin{cases} x^2+y^2+ax+by+c=0\\y=mx+q \end{cases}$£

Ora, se sostituiamo, nell'equazione della circonferenza, al posto di £$y$£ l'espressione £$mx+q$£ abbiamo un'equazione di secondo grado, che è l'equazione risolvente il sistema!
Ma un'equazione di secondo grado può avere una, due o nessuna soluzione!
Quindi a seconda del delta dell'equazione risolvente si ha che una retta e una circonferenza sono:

• Secanti se il deltaè positivo:£$\Delta>0$£ (il sistema ha due soluzioni reali distinte)
• Tangenti se il delta è nullo: £$\Delta=0$£ (il sistema ha due soluzioni coincidenti, quindi un sola)
• Esterne se il delta è negativo: £$\Delta<0$£ (il sistema non ha soluzioni reali)

Concentriamoci ora sulle rette tangenti a una circonferenza. Un punto £$P$£ rispetto a una circonferenza £$\gamma$£ può essere:

• esterno a £$\gamma$£: ci sono due tangenti per £$P$£ alla circonferenza;
• punto di £$\gamma$£: esiste una sola tangente per £$P$£ alla circonferenza;
• interno a £$\gamma$£: non ci sono rette tangenti alla circonferenza e passanti per £$P$£.

Come facciamo a trovare le equazioni delle rette tangenti, quando esistono?

Come primo metodo, utilizziamo la condizione di tangenza: il discriminante dell'equazione risolvente deve essere nullo. L'obiettivo è trovare l'equazione della retta tangente passante per un punto £$P(x_0;y_0)$£

Il procedimento da seguire è:

1. scrivere la generica retta che passa per £$P$£: £$y-y_0=m(x-x_0)$£
   L'unica cosa che non conosciamo è £$m$£, il coefficiente angolare!
2. mettere questa equazione a sistema con quella della circonferenza
3. trovare l'equazione risolvente e calcolare il discriminante
4. il discriminante dipende da £$m$£: imponiamo che il discriminante sia uguale a zero. Così troviamo il valore del coefficiente angolare £$m$£ che rende la retta tangente!

Il secondo metodo per trovare l'equazione delle tangenti a una circonferenza passanti per un punto P sfrutta la definizione di retta tangente.

Una circonferenza di raggio £$r$£ è tangente ad una retta se la distanza £$d$£ di questa retta dal centro £$C$£ è uguale al raggio.

Procediamo così:

1. troviamo il fascio di rette passanti per il punto £$P$£
2. imponiamo che la distanza del centro C dalla retta sia uguale a £$r$£

Il terzo metodo vale solo se il punto £$P$£ appartiene alla circonferenza.

In questo caso, possiamo trovare la retta tangente £$t$£ come retta perpendicolare al raggio che unisce £$P$£ con il centro £$C$£

I passi da seguire sono:

1. trovare le coordinate del centro £$C$£
2. ricavare il coefficiente angolare £$m'$£ della retta che passa per £$P$£ e per £$C$£
3. La retta tangente è perpendicolare alla retta trovata prima, quindi £$m=-\frac{1}{m'}$£
4. Sostituire il valore di £$m$£ nel fascio di rette passanti per £$P$£