Condizioni per trovare l'equazione di una circonferenza

Vediamo come trovare l'equazione di una circonferenza se conosciamo alcune sue caratteristiche. L'equazione generale di una circonferenza è £$x^2+y^2+ax+by+c=0$£

Per poter determinare i tre coefficienti £$a, b, c$£ servono tre condizioni. Sappiamo che per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza.

Allora, se conosciamo le coordinate di tre punti, possiamo scrivere un sistema di tre equazioni in tre incognite (i coefficienti £$a, b, c$£) sostituendo le loro coordinate alla £$x$£ e alla £$y$£ della circonferenza.

Complichiamo un po' le cose! Per trovare l'equazione della circonferenza abbiamo ora queste informazioni: la circonferenza passa per due punti £$P$£ e £$Q$£, e il suo centro £$C$£, di cui non conosciamo le coordinate, si trova su una retta £$s$£.

Il passaggio per £$P$£ e £$Q$£ ci porta alle condizioni che ormai conosciamo bene: sostituendo le loro coordinate nell'equazione della circonferenza, abbiamo due condizioni.

E la terza condizione?

Ricordiamo che le coordinate del centro di una circonferenza sono £$C(-\frac{a}{2};-\frac{b}{2})$£

Se sappiamo che £$C$£ appartiene alla retta £$s$£, allora le sue coordinate, sostituite alla £$x$£ e alla £$y$£ della retta, devono rendere vera l'uguaglianza (cioè soddisfarne l'equazione).

Allora, sostituiamo le coordinate di £$C$£ nell'equazione della retta, ottenendo l'ultima condizione sui coefficienti!

Vogliamo ora trovare i coefficienti £$a,b,c$£ dell'equazione di una circonferenza, sapendo che passa per il punto e che il centro è £$C$£

E' un caso semplice e può essere affrontato in due modi:

1. Il segmento £$\overline{PC}$£ è un raggio della circonferenza. Se calcoliamo la sua lunghezza possiamo usare poi la formula della circonferenza dati centro e raggio e risolvere così il problema
2. La conoscenza delle coordinate del centro corrisponde a due condizioni sui coefficienti e il passaggio per £$P$£ dà la terza condizione

Possiamo quindi impostare il sistema di tre equazioni nelle tre incognite £$a, b, c$£ e scrivere poi l'equazione della circonferenza cercata.

Possiamo trovare l'equazione della circonferenza se conosciamo il suo centro (sappiamo già che possiamo trovare i coefficienti £$a$£ e £$b$£!) e una retta tangente.

L'unico coefficiente che non conosciamo è £$c$£: per ricavarlo, usiamo la condizione di tangenza della retta.

Possiamo affrontare il problema in due modi:

1. Imporre che la distanza tra il centro e la retta sia uguale al raggio
2. Mettere a sistema la retta e la circonferenza e trovare il coefficiente che rende il discriminante dell'equazione di secondo grado nullo.