Condizioni per trovare l'equazione di un'iperbole

Impara quali sono le condizioni per trovare un'iperbole: passa per due punti, oppure conosci un punto e la sua eccentricità, oppure un punto e un asintoto, oppure un punto e una retta tangente.

Trovare l'equazione di una conica è facile con il numero giusto di condizioni! Ma qual è il numero giusto di condizioni per trovare l'equazione di un'ellisse, di una retta, di una parabola, di una circonferenza o di un'iperbole? Il numero di condizioni dipende dal numero di parametri che ci sono nell'equazione della conica. Per trovare l'equazione di un'iperbole servono due condizioni, perché due sono i parametri. Puoi combinare alcune caratteristiche, un punto che appartiene all'iperbole, un punto conosciuto come il fuoco o un vertice, l'eccentricità ed infine l'equazione di una retta tangente. Con gli esercizi svolti segui i passaggi da fare per trovare l'equazione di una iperbole date due condizioni.

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Prerequisiti per imparare le condizioni per trovare l'equazione di un'iperbole

I prerequisiti per imparare le condizioni per trovare l'equazione di un'iperbole sono:

Iperbole dati due punti

L'equazione dell'iperbole ha la forma £$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\pm 1$£. Ci sono 2 parametri £$a^2$£ e £$b^2$£, quindi, per determinarla univocamente (cioè senza ambiguità), servono due condizioni distinte e indipendenti.
Puoi trovare due di queste condizioni combinando:

  • le formule per trovare fuoco e vertici;
  • l'appartenenza di un punto all'iperbole, cioè, dato un punto per il quale passa l'iperbole, le sue coordinate devono rendere l'equazione della curva un'identità.

Iperbole dato un punto e l'eccentricità

Altre due condizioni per trovare l'iperbole sono le coordinate di un punto e la sua eccentricità. Il punto potrebbe essere:

  • un punto dell'iperbole
  • un vertice reale o non reale

Per poter trovare l'equazione dell'iperbole senza ambiguità dobbiamo sapere anche dove si trovano i fuochi per scegliere la giusta equazione canonica.

Iperbole dati un punto e un asintoto

Potrebbe capitarci di dover determinare l'equazione dell'iperbole conosciuti un punto (vertice, fuoco, punto appartenente all'iperbole) e un asintoto dell'iperbole.

Conoscere un asintoto significa conoscerli tutti e due perché possiamo ottenerne uno dall'altro cambiando di segno il coefficiente angolare!

Iperbole dati un punto e una tangente

Se vogliamo trovare l'equazione di un'iperbole conosciuto un punto e l'equazione di una sua tangente dobbiamo prima sfruttare la condizione data dal punto e poi imporre la condizione di tangenza, cioè imporre che sia uguale a zero il delta dell'equazione risolvente il sistema retta-iperbole.

Esercizi per trovare l'equazione dell'iperbole

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Ora che hai visto quali sono le condizioni per trovare l'equazione di un'iperbole, prova a risolvere questi esercizi. Così arriverai pronto per l'interrogazione!

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