Prerequisisti per imparare le condizioni per trovare una parabola
I prerequisisti per imparare le condizioni per trovare una parabola sono:
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Condizioni per trovare una parabola
Scopri le condizioni per trovare la parabola, come trovare una parabola a partire dai suoi elementi principali, come trovare una parabola dato un punto o una retta tangente.
Appunti
Servono tre condizioni per trovare una parabola. Ma quali sono? Come posso trovarle? Posso combinarle fra loro? Impariamo a trovare l'equazione di una parabola conoscendo alcune sue caratteristiche come il fuoco, il vertice, la direttrice o l'asse, un punto, o l'equazione di una retta tangente.
In questa lezione imparerai:
- Condizioni per trovare una parabola: quante condizioni servono e come si sfruttano
- Parabola a partire dai suoi elementi principali: quante condizioni ricaviamo dalla conoscenza di vertice, fuoco, asse o direttrice
- Parabola dato un punto: appartenenza di un punto alla parabola
- Parabola data una retta tangente: qual è e come si applica la condizione di tangenza
Contenuti di questa lezione su: Condizioni per trovare una parabola
Condizioni per trovare una parabola
Per determinare univocamente l'equazione di una generica parabola abbiamo bisogno di trecondizioni, tante quanti i coefficienti dell'equazione: £$a, b$£ e £$c$£.
Dobbiamo sostituire le tre condizioni nell'equazione generica della parabola e troviamo tre equazioni nelle incognite £$a, b$£ e £$c$£.
Poiché le condizioni descrivono la stessa parabola, devono valere contemporaneamente: dobbiamo inserirle in uno stesso sistema o metterne a sistema due e poi applicare all'equazione risolvente la terza condizione.
Parabola a partire dai suoi elementi principali
Vogliamo trovare la parabola con asse parallelo all'asse delle £$y$£ e della quale conosciamo almeno uno tra:
- ll fuoco £$F\left(-\frac{b}{2a}; \frac{1-\Delta}{4a} \right)$£
- La direttrice £$y=-\frac{1+\Delta}{4a}$£
- Il vertice £$V\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a} \right)$£
- L'asse di simmetria £$x=-\frac{b}{2a}$£
Le formule dell'ascissa e dell'ordinata del vertice o del fuoco sono due condizioni sui coefficienti della parabola.
Un'informazione si può anche avere se si conosce l'equazione della direttrice o dell'asse di simmetria e si sostituiscono le rispettive formule.
Equazione della parabola dato un punto
Un punto appartiene a una conica se, sostituendo le sue coordinate al posto della £$x$£ e della £$y$£ nell'equazione della curva, si ottiene un'identità.
Una condizione per trovare la parabola è quindi quella dell'appartenenza del punto: dato un punto £$P$£, vogliamo trovare la parabola con asse di simmetria parallelo all'asse £$y$£ che passi per quel punto. Otteniamo un'equazione con incognite £$a, b$£ e £$c$£ e cerchiamo i loro valori affinché sia verificata l'identità.
Per avere tre condizioni puoi combinarla con:
- l'appartenenza di altri due punti non allineati (per tre punti non allineati passa una sola parabola!)
- le coordinate del fuoco o del vertice
- l'equazione dell'asse o della direttrice
- l'equazione dell'asse e un punto
Equazione della parabola data una retta tangente
Vogliamo ora trovare la parabola £$y=ax^2+bx+c$£ tangente ad una retta data.
La condizione che abbiamo con questa informazione è quella di tangenza, che è uguale ad imporre delta=0 nell'equazione risolvente del sistema formato da retta e parabola.
Questa condizione si può combinare con altre due, per esempio imponiamo che la parabola passi per altri due punti (ma va bene anche la conoscenza di uno o più elementi principali della curva!). Sostituiamo queste due condizioni nell'equazione generale della parabola e le mettiamo a sistema. Troviamo così un'equazione risolvente con incognita una sola fra a, b e c che rappresenta tutte le parabole passanti per quei due punti.
Intersechiamo questa equazione con la retta conosciuta e sfruttiamo la condizione di tangenza.
Risolvendo troviamo l'incognita e sostituendo troviamo i coefficienti della parabola, che ora è unica!
