Condizioni per trovare una parabola

Scopri le condizioni per trovare la parabola, come trovare una parabola a partire dai suoi elementi principali, come trovare una parabola dato un punto o una retta tangente.

Servono tre condizioni per trovare una parabola. Ma quali sono? Come posso trovarle? Posso combinarle fra loro? Impariamo a trovare l'equazione di una parabola conoscendo alcune sue caratteristiche come il fuoco, il vertice, la direttrice o l'asse, un punto, o l'equazione di una retta tangente.

In questa lezione imparerai:

  • Condizioni per trovare una parabola: quante condizioni servono e come si sfruttano
  • Parabola a partire dai suoi elementi principali: quante condizioni ricaviamo dalla conoscenza di vertice, fuoco, asse o direttrice
  • Parabola dato un punto: appartenenza di un punto alla parabola
  • Parabola data una retta tangente: qual è e come si applica la condizione di tangenza

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Prerequisisti per imparare le condizioni per trovare una parabola

I prerequisisti per imparare le condizioni per trovare una parabola sono:

Condizioni per trovare una parabola

Per determinare univocamente l'equazione di una generica parabola abbiamo bisogno di trecondizioni, tante quanti i coefficienti dell'equazione: £$a, b$£ e £$c$£.
Dobbiamo sostituire le tre condizioni nell'equazione generica della parabola e troviamo tre equazioni nelle incognite £$a, b$£ e £$c$£.
Poiché le condizioni descrivono la stessa parabola, devono valere contemporaneamente: dobbiamo inserirle in uno stesso sistema o metterne a sistema due e poi applicare all'equazione risolvente la terza condizione.

Parabola a partire dai suoi elementi principali

Vogliamo trovare la parabola con asse parallelo all'asse delle £$y$£ e della quale conosciamo almeno uno tra:

  • ll fuoco £$F\left(-\frac{b}{2a}; \frac{1-\Delta}{4a} \right)$£
  • La direttrice £$y=-\frac{1+\Delta}{4a}$£
  • Il vertice £$V\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a} \right)$£
  • L'asse di simmetria £$x=-\frac{b}{2a}$£

Le formule dell'ascissa e dell'ordinata del vertice o del fuoco sono due condizioni sui coefficienti della parabola.
Un'informazione si può anche avere se si conosce l'equazione della direttrice o dell'asse di simmetria e si sostituiscono le rispettive formule.

Equazione della parabola dato un punto

Un punto appartiene a una conica se, sostituendo le sue coordinate al posto della £$x$£ e della £$y$£ nell'equazione della curva, si ottiene un'identità.
Una condizione per trovare la parabola è quindi quella dell'appartenenza del punto: dato un punto £$P$£, vogliamo trovare la parabola con asse di simmetria parallelo all'asse £$y$£ che passi per quel punto. Otteniamo un'equazione con incognite £$a, b$£ e £$c$£ e cerchiamo i loro valori affinché sia verificata l'identità.
Per avere tre condizioni puoi combinarla con:

  • l'appartenenza di altri due punti non allineati (per tre punti non allineati passa una sola parabola!)
  • le coordinate del fuoco o del vertice
  • l'equazione dell'asse o della direttrice
  • l'equazione dell'asse e un punto

Equazione della parabola data una retta tangente

Vogliamo ora trovare la parabola £$y=ax^2+bx+c$£ tangente ad una retta data.
La condizione che abbiamo con questa informazione è quella di tangenza, che è uguale ad imporre delta=0 nell'equazione risolvente del sistema formato da retta e parabola.

Questa condizione si può combinare con altre due, per esempio imponiamo che la parabola passi per altri due punti (ma va bene anche la conoscenza di uno o più elementi principali della curva!). Sostituiamo queste due condizioni nell'equazione generale della parabola e le mettiamo a sistema. Troviamo così un'equazione risolvente con incognita una sola fra a, b e c che rappresenta tutte le parabole passanti per quei due punti.
Intersechiamo questa equazione con la retta conosciuta e sfruttiamo la condizione di tangenza.
Risolvendo troviamo l'incognita e sostituendo troviamo i coefficienti della parabola, che ora è unica!

Esercizi svolti Condizioni per trovare una parabola

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Esercizi Condizioni per trovare una parabola - 1

Esercizi Condizioni per trovare una parabola - 2

Esercizi Condizioni per trovare una parabola - 3

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