Equazione della circonferenza

Hai già studiato la circonferenza in geometria. Ora vedrai come rappresentarla nel piano cartesiano! la Scopri che cos'è l'equazione della circonferenza nel piano cartesiano. Impara quali sono le condizioni di esistenza e la relazione tra circonferenza e funzioni. Trovi tanti esercizi sulla circonferenza: prova a farli tutti!

Come si scrive l'equazione della circonferenza? Vuoi capire sotto quali condizioni un'equazione rappresenta una circonferenza? Allora sei nella lezione giusta!

In questa video lezione imparerai:

  • Equazione della circonferenza: definizione e come ricavare la sua equazione
  • Condizione di esistenza: la condizione da imporre al raggio della circonferenza
  • Circonferenza e funzioni: come capire se la circonferenza è una funzione

Allenati con le lezioni e con gli esercizi sull'equazione della circonferenza!

Accedi per sempre a tutte le lezioni FREE con video ed esercizi spiegati!

Prerequisiti per imparare l'equazione della circonferenza

I prerequisiti per imparare l'equazione della circonferenza sono:

Qual è l'equazione della circonferenza

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso, il centro. Possiamo quindi individuare una equazione che rappresenta l'insieme dei punti del piano di questo luogo geometrico.

Troviamo l'equazione della circonferenza!

  1. Disegniamo una circonferenza di raggio r in un piano cartesiano xOy e chiamiamo £$x_0$£ e £$y_0$£ le coordinate del centro, cioè £$C(x_0;y_0)$£
  2. Prendiamo un punto qualsiasi del piano di coordinate £$P(x;y)$£
  3. Cerchiamo i valori delle coordinate in modo che P sia un punto della circonferenza. Deve avere quindi distanza da uguale C a r
  4. Usiamo la formula della distanza tra due punti £$\overline{PC}=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$£
  5. Per essere un punto delIa circonferenza, deve valere £$\overline{PC}=r$£
  6. Abbiamo quasi finito! Eleviamo al quadrato per togliere la radice £$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$£

Questa è l'equazione della circonferenzadati centro £$C(x_0;y_o)$£ e raggio £$r$£

Possiamo giocare con l'equazione e trovare un altro modo di scriverla.
Sviluppiamo i quadrati e portiamo r a sinistra dell'uguale £$x^2-2x_0x+x_0^2+y^2-2y_0y+y_0^2-r^2=0$£

Ora, riordiniamo i termini e chiamiamo £$\begin{cases} a=-2x_0\\ b=-2y_0 \\ c=x_0^2+y_0^2-r^2 \end{cases}$£

Questa è l'equazione generale £$x^2+y^2+ax+by+c=0$£

Come capire se l'equazione descrive una circonferenza

Dopo aver visto l'equazione generale, vediamo come capire se è una circonferenza l'equazione: £$kx^2+hy^2+a'x+b'y+c'=0$£

Se i coefficienti di £$x^2$£ e £$y^2$£ sono DIVERSI allora sicuramente non lo è!
Se invece sono uguali (cioè £$k=h$£) può essere una circonferenza. Per riportarla alla forma che abbiamo visto prima, basta dividere per il coefficiente di £$x^2$£ e otteniamo £$x^2+y^2+ax+by+c=0$£ con £$\begin{cases} a=\frac{a'}{k}\\ b=\frac{b'}{k} \\ c=\frac{c'}{k} \end{cases}$£

A questo punto possiamo pensare che tutte le equazioni del tipo £$x^2+y^2+ax+by+c=0$£ rappresentino una circonferenza.

Attenzione! Il raggio deve essere positivo (o al massimo nullo, caso in cui la circonferenza si riduce a un punto ed è chiamata degenere)

La relazione che lega il raggio con i coefficienti è £$c=x_0^2+y_0^2-r^2$£
Possiamo ricavare da questa la C.E. della circonferenza di centro £$C(x_0;y_0)$£

£$c=x_0^2+y_0^2-r^2\Rightarrow r=\sqrt{x_0^2+y_0^2-c}$£

£$r\ge0\Rightarrow x_0^2+y_0^2-c\ge0$£

Circonferenza e funzioni

L'equazione generale della circonferenza è scritta in forma implicita cioè come un'equazione in due variabili del tipo £$F(x,y)=0$£

Ricordi? Anche le rette possono essere rappresentate in forma implicita come £$F(x,y)=a'x+b'y+c'=0$£

Per la retta possiamo scrivere la variabile y in funzione di x: £$y=-\frac{a'}{b'}x-\frac{c'}{b'}=mx+q$£

Possiamo fare lo stesso per la circonferenza? La risposta è no!
Scopriamo perché!

Partiamo da un esempio molto semplice e consideriamo l'equazione di una circonferenza con centro nell'origine e raggio r: £$x^2+y^2=r^2$£

Ora risolviamo l'equazione in y, scriviamola cioè nella forma £$y=...$£ (si dice anche esplicitare y) e abbiamo £$y=\pm\sqrt{r^2-x^2}$£

Le equazioni sono 2: £$y_1=\sqrt{r^2-x^2}$£ e £$y_2=-\sqrt{r^2-x^2}$£

Non possiamo quindi trovare in modo univoco la £$y$£ di una circonferenza (troviamo sempre due valori), quindi NON è una funzione: a un valore di x corrispondono due valori dell'ordinata £$y_1$£ e £$y_2$£

Le due equazioni ottenute da quella della circonferenza sono due funzioni: due semicirconferenze! £$y_1=\sqrt{r^2-x^2}$£ e £$y_2=-\sqrt{r^2-x^2}$£

Attenzione! E' semplice capire se un grafico rappresenta una funzione: se esiste una retta verticale che taglia il grafico in più di un punto, quella non è una funzione!

Esercizi svolti Equazione della circonferenza

Ecco gli esercizi su Equazione della circonferenza in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Circonferenza. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Aritmetica e Algebra

Esercizi Equazione della circonferenza - 1

Esercizi Equazione della circonferenza - 2

Esercizi Equazione della circonferenza - 3

#NEVERSTOPLEARNING Intesa Sanpaolo regala agli studenti dalla Primaria fino all’Università 3 mesi di accesso gratuito alla piattaforma
#NEVERSTOPLEARNING Intesa Sanpaolo regala agli studenti dalla Primaria fino all’Università 3 mesi di accesso gratuito alla piattaforma