Fasci di parabole

Se moltiplichiamo due parabole qualsiasi, oppure una parabola ed una retta, per due costanti non entrambe nulle e poi le sommiamo, otteniamo una nuova parabola.
Se cambiamo le costanti troviamo un'altra parabola, e così via… Il fascio di parabole è l'insieme delle parabole che possiamo disegnare al variare delle costanti.
L'equazione del fascio si trova come combinazione lineare (somma delle due equazioni in forma implicita, entrambe moltiplicate per una costante) di due parabole di partenza, o di una parabola ed una retta, dette generatrici del fascio.
Studieremo i fasci di parabole con asse parallelo all'asse £$y$£.
Per quelle con asse parallelo all'asse £$x$£ si arriva alle stesse conclusioni.

Gli elementi principali dei fasci di parabole sono:

• Generatrici: sonole parabole che generano il fascio. Si trovano scrivendo il fascio in forma implicita: una delle due si ottiene per £$k=0$£ e l'altra uguagliando a zerol'espressione moltiplicata per £$k$£
• Punto base: è il punto in cui si intersecano le parabole di uno stesso fascio (non è detto che ci sia e possono essere al massimo due). Si trova come intersezione di due qualsiasi parabole del fascio
• Parabole degeneri: sono parabole che diventano una o più rette al variare del parametro £$k$£. Abbiamo detto che le generatrici di un fascio sono due parabole o una retta ed una parabola; in quest'ultimo caso la retta è una parabola degenere!

Come troviamo l'equazione delle parabole degeneri?
Se il coefficiente di £$x^2$£ e della £$y$£ dipendono dal parametro troviamo l'equazione delle parabole degeneri per quei valori di £$k$£ che annullano il coefficiente di:

• £$x^2$£: la parabola degenere è una retta obliqua o orizzontale;
• £$y$£: la parabola degenera in due rette verticali.

Altrimenti troviamo le parabole degeneri quando £$k$£ è un numero molto grande. È questo il caso in cui la parabola degenere è una delle generatrici del fascio!

Classifichiamo i fasci di parabole:

1. Fasci di parabole secanti in due punti. Hanno due punti base, i due punti di intersezione delle due generatrici e tre parabole degeneri, le due rette verticali passanti per ciascuno dei punti base e la retta obliqua passante per entrambi;
2. Fasci di parabole tangenti in un punto base. Hanno un punto base, il punto di tangenza fra tutte le parabole e una parabola degenere, che è anche la retta tangente a tutte le parabole del fascio;
3. Fasci di parabole senza alcun punto in comune: non ha punti base perché le parabole non si incontrano mai e hanno una parabola degenere: è una delle due generatrici del fascio;
4. Fasci di parabole congruenti con stesso asse di simmetria. Non hanno né punti base né parabole degeneri. Tutte le parabole del fascio hanno lo stesso asse e cambia solo il coefficiente £$c$£;
5. Fasci di parabole congruenti con un punto in comune. Hanno un punto base ed una parabola degenere, che è la retta passante per il punto base.

Vediamo ora come trovare l'equazione di alcuni particolari fasci di parabole.

Dati due punti £$A$£ e £$B$£ distinti del piano cartesiano possiamo trovare l'equazione di un fascio di parabole secanti. Se £$r$£ è la retta per £$A$£ e £$B$£ abbiamo: $$y=mx+q+k(x-x_A)(x-x_B)$$

Dato un punto £$A$£ e una retta £$r$£ passante per £$A$£ possiamo trovare il fascio di parabole tangenti in un punto ad una retta. La sua equazione è: $$y=mx+q+k(x-x_A)^2$$