Grafici e disequazioni riconducibili alla parabola

Partiamo con il caso della radice con indice pari, in particolare con indice 2. Le funzioni di questo tipo possono essere rappresentate da un ramo di parabola.
Analizziamo le condizioni di esistenza (C.E.) della radice, che sono utili per capire in quali parti del piano cartesiano dobbiamo disegnare la funzione.

Ora, per ricondurci ad un grafico conosciuto:

1. Isoliamo la radice in uno dei due membri
2. Eleviamo tutto al quadrato e troviamo un'equazione di secondo grado. Se una sola fra la £$x$£ e la £$y$£ sono al secondo grado, l'equazione rappresenta una parabola!

Infine, per ottenere il grafico del ramo di parabola:

• partiamo dalla parabola trovata, escludiamo le parti che non appartengono alle C.E.
• analizziamo il segno davanti alla radice e consideriamo solo la parte delle £$y$£ che ci interessa.

Il caso del modulo (valore assoluto) è un po' più articolato.
Ci può capitare di trovare un'equazione di secondo grado (in cui solo una fra la £$x$£ e la £$y$£ è al secondo grado!) tutta contenuta in un modulo, o che abbia un modulo al suo interno. Le funzioni associate hanno come grafici parabole ribaltate o unioni di più archi di parabole.
Sappiamo che il modulo rende sempre positivo il suo argomento.
Ogni funzione che contenga un modulo nella sua espressione si deve analizzare e disegnare come unione di due funzioni:

• una per i valori in cui l'argomento è positivo
• l'altra per i valori in cui è negativo.

Cosa succede nel grafico della funzione? Abbiamo due possibilità:

• Se l'espressione della funzione è tutta dentro il modulo, per disegnarla basta ribaltare rispetto all'asse £$x$£ la parte di grafico che si trova nel semipiano negativo delle £$y$£
• Se solo parte dell'espressione della funzione è dentro il modulo allora il grafico sarà l'unione dei due grafici delle funzioni che si ottengono dallo studio del segno dell'argomento del valore assoluto.

Con le informazioni sui grafici deducibili impariamo a risolvere equazioni e disequazioni graficamente.
Per risolvere graficamente un'equazione del tipo £$A(x)=B(x)$£ in cui compaiono funzioni deducibili dal grafico della parabola dobbiamo:

• Isolare le radici o i moduli ad un solo membro;
• disegnare le due funzioni £$y=A(x)$£ e £$y=B(x)$£.

I punti di intersezione delle due funzioni sono le soluzioni dell'equazione.
Se lo stesso tipo di funzioni compaiono in una disequazione £$A(x)>B(x)$£ o £$A(x)<B(x)$£, il procedimento è lo stesso ma le soluzioni si leggono in maniera diversa!
La soluzione è l'intervallo delle £$x$£ in cui la funzione £$y=A(x)$£ sta:

• "sopra" la funzione £$y=B(x)$£ se stai studiando £$A(x)>B(x)$£;
• "sotto" la funzione £$y=B(x)$£ se stai studiando £$A(x)<B(x)$£.

Il segmento parabolico è la parte di piano compresa fra una corda £$AB$£ ed il corrispondente arco di parabola.
Per trovare l'area del segmento parabolico:

• Troviamo la retta £$t$£ tangente alla parabola e parallela alla retta passante per £$A$£ e £$B$£;
• Individuiamo le proiezioni £$A'$£ e £$B'$£ di £$A$£ e £$B$£ sulla retta £$t$£;
• Troviamo l'area del rettangolo £$AA'BB'$£
• L'area £$S$£ del segmento parabolico è: £$S=\frac{2}{3}A_{(AA'BB')}$£