Iperbole equilatera

Una iperbole è equilatera quando nell'equazione canonica £$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\pm 1$£ i due parametri sono uguali: £$a^2=b^2$£, cioè quando l'asse trasverso e l'asse non trasverso hanno la stessa lunghezza.
Abbiamo scritto l'equazione con il £$\pm1$£ perché la definizione di iperbole equilatera è valida sia per l'iperbole con fuochi sull'asse £$x$£ che per l'iperbole con i fuochi sull'asse £$y$£.
L'equazione dell'iperbole equilatera diventa:

• £$x^2-y^2=a^2$£ se i fuochi sono sull'asse delle ascisse;
• £$x^2-y^2=-a^2$£ se i fuochi sono sull'asse delle ordinate.

Le caratteristiche delle iperboli equilatere sono molto semplici:

• la coordinata dei fuochi si trova con la stessa formula che abbiamo usato per le iperboli qualsiasi: £$c^2=a^2+b^2 $£, cioè £$c=\pm a \cdot \sqrt{2}$£
• gli asintoti sono le bisettrici dei quadranti, cioè le rette £$y=x$£ e £$y=-x$£
• l'eccentricità ha un valore fisso pari a £$\sqrt{2}$£. La formula dell'eccentricità permette di dimostrare che £$e=\sqrt{2}$£ per le iperboli equilatere.

L'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti è un'iperbole equilatera considerata in un nuovo sistema di riferimento in cui gli assi cartesiani sono i suoi asintoti. Gli asintoti di un'iperbole equilatera sono le bisettrici dei quadranti e sono fra loro perpendicolari, quindi possiamo usarle come assi cartesiani per un nuovo sistema di riferimento.
L'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti ha equazione £$xy=\pm k$£, dove £$k = \frac{a^2}{2}$£. Al variare del parametro £$k$£ varia la posizione dell'iperbole nel piano cartesiano:

• se £$k > 0$£ i due rami stanno nel I e nel III quadrante;
• se £$k<0$£ i due rami sono nel II e nel IV quadrante.

Gli elementi principali dell'iperbole riferita ai propri asintoti sono:

• gli asintoti sono gli assi cartesiani;
• gli assi di simmetria sono le bisettrici dei quadranti. Quindi i fuochi e i vertici dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti sono punti delle bisettrici;
• i vertici hanno coordinate:
  • se £$k > 0$£: £$A_1 \left(-\sqrt{k}; -\sqrt{k} \right)$£, £$A_2 \left(\sqrt{k}; \sqrt{k} \right)$£
  • se £$k<0$£: £$A_1 \left(-\sqrt{-k}; \sqrt{-k} \right)$£ e £$A_2 \left(\sqrt{-k}; -\sqrt{-k} \right)$£
• le coordinate dei fuochi sono la metà della distanza focale £$c=2 \sqrt{|k|}$£, quindi le coordinate dei fuochi dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti sono:
  • se £$k > 0$£: £$F_1 \left(-\sqrt{2k}; -\sqrt{2k} \right)$£, £$F_2 \left(\sqrt{2k}; \sqrt{2k} \right)$£
  • se £$k<0$£: £$F_1 \left(-\sqrt{-2k}; \sqrt{-2k} \right)$£ e £$F_2 \left(\sqrt{-2k}; -\sqrt{-2k} \right)$£
• l'asse trasverso ha lunghezza £$2a=2\sqrt{2|k|}$£

Possiamo trovare l'iperbole riferita ai propri asintoti anche come rotazione di £$45°$£ dell'iperbole equilatera riferita agli assi.

La rotazione è un'isometria, quindi conserva le distanze, per questo motivo le due iperboli avranno le stesse caratteristiche.