Iperbole traslata e funzione omografica

Scopri che cosa è una iperbole traslata, che cosa è e come funziona il metodo del completamento del quadrato. Infine vediamo anche che cos'è la funzione omografia.

In geometria analitica, fra le ultime coniche che studiamo, c'è la funzione omografica. Cosa è la funzione omografica? La funzione omografica non è altro che una iperbole riferita ai propri asintoti traslata di un dato vettore.
Cosa si ottiene traslando un'iperbole? Applicando una traslazione ad un'iperbole qualsiasi otteniamo l'iperbole traslata, che ha le stesse caratteristiche dell'iperbole di partenza perché la traslazione è un'isometria e conserva le distanze. Possiamo scrivere l'equazione dell'iperbole traslata sia nella forma estesa che in quella canonica, per passare dalla forma canonicaa quella estesa basta svolgere i calcoli, per passare da quella estesa a quella canonica, invece, usiamo il metodo del completamento del quadrato.
Traslando un'iperbole riferita ai propri asintoti otteniamo una funzione omografica, che ha gli asintoti paralleli agli assi cartesiani, e a seconda del valore dei suoi coefficienti diventa una retta obliqua oppure una retta orizzontale.

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Prerequisiti per imparare l'iperbole traslata e la funzione omografica

I prerequisiti per imparare l'iperbole traslata e la funzione omografica sono:

Iperbole traslata

Traslando un'iperbole di un vettore £$ \overrightarrow{v} (p;q)$£ otteniamo una nuova iperbole, che ha le stesse caratteristiche di quella di partenza perché la traslazione è un'isometria, quindi conserva le caratteristiche principali e le distanze.

I fuochi, i vertici e gli asintoti della nuova iperbole sono i corrispondenti di quelli iniziali nella traslazione di vettore £$ \overrightarrow{v} (p;q)$£.

L'equazione di un'iperbole traslata di un vettore £$ \overrightarrow{v} (p;q)$£ è: £$\frac{(x-p)^2}{a^2}-\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$£

Abbiamo considerato l'iperbole con i fuochi sull'asse £$x$£, per quella con i fuochi sull'asse £$y$£ cambia solo il coefficiente al secondo membro, ma i passaggi da fare sono uguali!

Se sviluppiamo la formula, otteniamo l'equazione dell'iperbole traslata con centro in £$O(p;q)$£: £$Ax^2 + By^2 +Cx+Dy+E=0$£

La formula per trovare il centro dell'iperbole traslata è: £$C \left( -\frac{C}{2A}; -\frac{D}{2B} \right)$£.

Questa equazione è simile a quella dell'ellisse traslata, l'unica cosa che cambia sono i coefficienti £$A$£ e £$B$£ che nell'ellisse sono concordi.

Il metodo di completamento del quadrato

Vediamo ora come passare dall'equazione dell'iperbole traslata scritta in forma estesa, a quella canonica. Il procedimento che applichiamo si chiama completamento del quadrato.
In cosa consiste il metodo del completamento del quadrato? Partendo dall'equazione dell'iperbole traslata £$Ax^2 + By^2 +Cx+Dy+E=0$£ aggiungiamo e togliamo opportunamente dei termini al fine di ottenere dei quadrati che, sfruttando la formula del quadrato di un binomio (che abbiamo studiato nei prodotti notevoli: £$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$£), possiamo raccogliere ottenendo l'equazione dell'iperbole traslata scritta in forma canonica: £$\frac{(x-p)^2}{a^2}-\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$£

Perché conviene passare dalla forma estesa a quella canonica dell'equazione di un'iperbole traslata? Nell'equazione in forma canonica è immediato riconoscere il vettore di traslazione.

Funzione omografica

Cosa succede se applichiamo una traslazione ad un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti? Otteniamo una funzione omografica!
L'equazione della funzione omografica, e quindi di un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti traslata, si ottiene applicando le formule della traslazione all'equazione £$xy=k$£.
Le caratteristiche della funzione omografica sono:

  • ha equazione: £$y=\frac{ax+b}{cx+d}$£ con £$c \ne 0 $£ e £$ad-bc \ne 0$£
  • ha gli asintoti paralleli agli assi cartesiani
  • il centro di simmetria ha coordinate £$C \left(-\frac{d}{c}; \frac{a}{c} \right)$£
  • le equazioni degli asintoti sono: £$x=-\frac{d}{c}$£ e £$y=\frac{a}{c}$£
  • se £$c=0$£ e £$d \ne 0$£ la funzione omograficadiventa una retta
  • se £$ad-bc=0$£ la funzione omografica è una retta orizzontale di equazione £$y=\frac{a}{c}$£

Esercizi sull'iperbole traslata

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Esercizi Iperbole traslata e funzione omografica - 1

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