Parabola traslata e grafico della parabola

Studia la parabola traslata e la sua equazione, impara anche il caso in cui l'asse è parallelo all'asse delle x e infine guarda i casi particolari.

Una parabola con asse parallelo all'asse £$y$£ è traslata rispetto ad una con l'asse coincidente all'asse £$y$£. Quale è la sua equazione? E se l'asse è parallelo all'asse £$x$£? Cosa indicano i coefficienti £$a,b$£ e £$c$£ dell'equazione nel grafico della parabola? Vediamo i casi più generali di parabole!

In questa video lezione imparerai:

  • Equazione della parabola traslata: come ricavare l'equazione, cosa cambia rispetto a prima, formule di vertice fuoco asse e direttrice
  • Caso con asse parallelo all'asse £$x$£: come ricavare l'equazione, formule per gli elementi principali;
  • Casi particolari e grafico della parabola: cosa indicano nel grafico i coefficienti £$a,b$£ e £$c$£

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Prerequisiti per imparare la parabola traslata e il grafico della parabola

I prerequisiti per imparare la parabola traslata e il grafico della parabola sono:

Equazione della parabola traslata

Una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse £$y$£ può essere vista come una parabola con asse di simmetria sull'asse £$y$£ e vertice nell'origine traslata di un dato vettore.

Applicando le equazioni della traslazione alla parabola di equazione £$y=ax^2$£, otteniamo l' equazione della parabola traslata: £$y=ax^2+bx+c$£

Cosa cambia?

  • Il coefficiente a (concavità e apertura) non cambiano
  • Il fuoco ha coordinate £$F\left(-\frac{b}{2a}; \frac{1-\Delta}{4a} \right)$£
  • La direttrice ha equazione £$y=-\frac{1+\Delta}{4a}$£
  • Il vertice diventa £$V\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a} \right)$£;
  • L'asse di simmetria ha equazione £$x=-\frac{b}{2a}$£

Parabola con asse parallelo all'asse £$x$£

Esistono parabole con asse di simmetria parallelo all'asse £$x$£.
Ognuna di queste può essere vista come una simmetria rispetto alla retta £$y=x$£ della parabola congruente con asse parallelo all'asse £$y$£.

Basta invertire la £$x$£ con la £$y$£ nell'equazione della parabola con asse parallelo all'asse £$y$£ per ottenere la nuova equazione: £$x=ay^2+by+c$£
Nello stesso modo troviamo:

  • le coordinate di vertice £$ V\left(-\frac{\Delta}{4a}; -\frac{b}{2a} \right) $£ e fuoco £$F \left(\frac{1-\Delta}{4a}; -\frac{b}{2a} \right) $£,
  • Le equazioni di direttrice £$d: x= -\frac{1+\Delta}{4a}$£ e asse di simmetria £$y=-\frac{b}{2a}$£

Il coefficiente £$a$£ indica ancora la concavità ma sarà:

  • £$a>0$£: la concavità è verso destra;
  • £$a<0$£: la concavità è verso sinistra.

Altri casi particolari e grafico della parabola

I coefficienti £$a, b$£ e £$c$£ danno informazioni sul grafico della parabola.

Analizziamo solo la parabola con asse parallelo all'asse £$y$£, per simmetria rispetto alla retta £$y=x$£ troviamo le rispettive informazioni per la parabola con asse parallelo all'asse £$x$£.

Attenzione! Il coefficiente £$a$£ è diverso da zero sempre, altrimenti non si avrebbe una parabola ma una retta.

Se £$c$£ è nullo (£$c=0$£) la parabola passa per l'origine £$O$£ degli assi.
Se £$c$£ non è nullo (£$c\ne0$£), indica che il grafico della parabola si sposta lungo una retta parallela all'asse £$y$£.
Partendo dall'equazione di una parabola traslata con asse parallelo all'asse £$y$£, se £$c$£ aumenta troviamo uno spostamento verso l'alto, se diminuisce uno verso il basso.

Se £$b$£ e £$c$£ sono nulli (£$c=0$£ e £$b=0$£) il grafico è quello della parabola con asse di simmetria sull'asse £$y$£ e vertice nell'origine.

Esercizi sul grafico della parabola

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Mettiti alla prova risolvendo questi esercizi sul grafico della parabola traslata e alcuni casi particolari!

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