Parabola traslata e grafico della parabola

Una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse £$y$£ può essere vista come una parabola con asse di simmetria sull'asse £$y$£ e vertice nell'origine traslata di un dato vettore.

Applicando le equazioni della traslazione alla parabola di equazione £$y=ax^2$£, otteniamo l' equazione della parabola traslata: £$y=ax^2+bx+c$£

Cosa cambia?

• Il coefficiente a (concavità e apertura) non cambiano
• Il fuoco ha coordinate £$F\left(-\frac{b}{2a}; \frac{1-\Delta}{4a} \right)$£
• La direttrice ha equazione £$y=-\frac{1+\Delta}{4a}$£
• Il vertice diventa £$V\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a} \right)$£;
• L'asse di simmetria ha equazione £$x=-\frac{b}{2a}$£

Esistono parabole con asse di simmetria parallelo all'asse £$x$£.
Ognuna di queste può essere vista come una simmetria rispetto alla retta £$y=x$£ della parabola congruente con asse parallelo all'asse £$y$£.

Basta invertire la £$x$£ con la £$y$£ nell'equazione della parabola con asse parallelo all'asse £$y$£ per ottenere la nuova equazione: £$x=ay^2+by+c$£
Nello stesso modo troviamo:

• le coordinate di vertice £$ V\left(-\frac{\Delta}{4a}; -\frac{b}{2a} \right) $£ e fuoco £$F \left(\frac{1-\Delta}{4a}; -\frac{b}{2a} \right) $£,
• Le equazioni di direttrice £$d: x= -\frac{1+\Delta}{4a}$£ e asse di simmetria £$y=-\frac{b}{2a}$£

Il coefficiente £$a$£ indica ancora la concavità ma sarà:

• £$a>0$£: la concavità è verso destra;
• £$a<0$£: la concavità è verso sinistra.

I coefficienti £$a, b$£ e £$c$£ danno informazioni sul grafico della parabola.

Analizziamo solo la parabola con asse parallelo all'asse £$y$£, per simmetria rispetto alla retta £$y=x$£ troviamo le rispettive informazioni per la parabola con asse parallelo all'asse £$x$£.

Attenzione! Il coefficiente £$a$£ è diverso da zero sempre, altrimenti non si avrebbe una parabola ma una retta.

Se £$c$£ è nullo (£$c=0$£) la parabola passa per l'origine £$O$£ degli assi.
Se £$c$£ non è nullo (£$c\ne0$£), indica che il grafico della parabola si sposta lungo una retta parallela all'asse £$y$£.
Partendo dall'equazione di una parabola traslata con asse parallelo all'asse £$y$£, se £$c$£ aumenta troviamo uno spostamento verso l'alto, se diminuisce uno verso il basso.

Se £$b$£ e £$c$£ sono nulli (£$c=0$£ e £$b=0$£) il grafico è quello della parabola con asse di simmetria sull'asse £$y$£ e vertice nell'origine.