Posizioni reciproche di due circonferenze

Scopri cosa sono le circonferenze interne ed esterne, che cos'è e come si trova l'asse radicale e cosa è una circonferenza secante, una tagnente e una concentrica.

Quali sono le posizioni reciproche di due circonferenze? Quantipunti di intersezione possono avere due circonferenze? In questa lezione vedrai come possono essere posizionate reciprocamente due circonferenze e calcolare quindi quanti punti in comune hanno!

In questa lezione imparerai:

  • Circonferenze esterne ed interne: quando due circonferenze non hanno punti in comune possono essere interne o esterne
  • Circonferenze secanti e asse radicale: se due circonferenze hanno due punti di intersezione e per questi due punti passa una retta chiamata asse radicale
  • Circonferenze tangenti: se due circonferenze hanno un solo punto in comune
  • Circonferenze concentriche: due circonferenze di raggio diverso ma con lo stesso centro

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Prerequisiti per imparare le posizioni reciproche di due circonferenze

I prerequisiti per imparare le posizioni reciproche di due circonferenze sono:

Circonferenze secanti e asse radicale

Un caso un po' più interessante è quello di due circonferenze che si intersecano in due punti, cioè sono secanti.

L' asse radicale è la retta che passa per i due punti di intersezione.

Per trovare le coordinate dei punti di intersezione e l'equazione dell'asse radicale, mettiamo a sistema le equazioni delle due circonferenze e risolviamo il sistema.

Osserviamo il sistema da vicino: è un sistema di quarto grado (perché è formato da due equazioni di secondo grado!) quindi potenzialmente molto difficile da risolvere.

Se però applichiamo il metodo di riduzione e sottraiamo la seconda equazione dalla prima otteniamo una nuova equazione che è lineare, cioè rappresenta una retta, ed è proprio l'equazione dell'asse radicale!

Il sistema da cui siamo partiti è allora equivalente (cioè ha le stesse soluzioni) a quello formato da una delle due circonferenze e dall'asse radicale.

Questo sistema è molto più semplice da risolvere!

Ricaviamo ad esempio la £$y$£ dalla seconda equazione e sostituiamola nella prima. Otteniamo così un'equazione di secondo grado nell'incognita £$x$£: le sue soluzioni sono le ascisse dei punti di intersezione delle due circonferenze!

Circonferenze tangenti

Due circonferenze possono avere un solo punto in comune, cioè essere tangenti.
Distinguiamo due casi:

  • Tangenti esternamente se la distanza dei centri è uguale alla somma dei raggi
  • Tangenti internamente la distanza dei centri è uguale alla differenza dei raggi

L'asse radicale in questo caso è la retta tangente comune alle due circonferenze. Il punto di tangenza è chiamato punto base.

Attenzione! Possiamo trovare l'equazione dell'asse radicale e le coordinate del punto base con lo stesso procedimento usato per trovare i punti di intersezione di due circonferenze secanti!

Circonferenze concentriche

Due circonferenze sono concentriche se i loro centri coincidono:

Quindi due circonferenze sono concentriche se il coefficiente di £$x$£ della prima circonferenza è uguale al coefficiente di £$x$£ della seconda e il coefficiente di £$y$£ della prima circonferenza è uguale al coefficiente di £$y$£ della seconda.

Circonferenze esterne e interne

Cosa succede quando analizziamo le posizioni reciproche di due circonferenze?

Due circonferenze che non hanno punti in comune possono essere:

  • Esterne se la distanza dei centri è > della somma dei raggi
  • Interne se la distanza dei centri è < della somma dei raggi
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