Esercizi svolti, appunti e video lezioni su Frazioni e decimali per la preparazione all’esame di Matematica dell’Università.

Frazioni e decimali - Università

Impara a trasformare le frazioni in numeri decimali finiti o decimali infiniti periodici semplici o misti dividendo il numeratore per il denominatore.

Cos'è e a cosa serve la frazione generatrice?

Numeri decimali, periodici, irrazionali e reali: è solo questione di virgole e di numeri dopo la virgola? Cosa è un numero irrazionale? Quanti numeri dopo la virgola ha un numero irrazionale?

Le frazioni possono essere scritte come numeri decimali finiti o decimali infiniti periodici dividendo il numeratore per il denominatore.

Cosa è un numero decimale finito? Quando un numero decimale è periodico semplice o periodico misto?

Come si passa dalla frazione ai numeri con la virgola? E se vogliamo passare da un numero con la virgola ad una frazione? Ci vengono in aiuto le frazioni generatrici, diverse a seconda che il numero decimale sia finito, periodico semplice o periodico misto!

E cosa sono i numeri irrazionali e reali?

In questa lezione concludiamo lo studio degli insiemi numerici!

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Numeri decimali finiti e periodici

Le frazioni possono essere scritte come numeri decimali finiti o numeri decimali periodici, basta fare la divisione tra numeratore e denominatore. Se il risultato di questa divisione è un numero intero o un numero con la virgola che ha un numero di cifre dopo la virgola finito allora hai trasformato la frazione in un numero decimale finito, se invece il numero di cifre dopo la virgola è infinito la frazione è diventata:

  • un numero decimale periodico semplice, cioè un numero le cui infinite cifre dopo la virgola si ripetono, chiamate periodo, come per esempio il numero £$\frac{1}{3}=0,33333=0,\bar3$£;
  • un numero decimale periodico misto, come per esempio il numero £$\frac{5}{6}=0,83333=0,8\bar3$£, cioè un numero che dopo la virgola ha alcune cifre che non si ripetono, e questa parte è chiamata antiperiodo, seguite da cifre che si ripetono.

Frazione generatrice

Abbiamo visto come trasformare una frazione in un numero decimale. Ora vogliamo fare il contrario: se hai un numero decimale finito o periodico qual è la sua frazione generatrice?

Caso 1. Numero decimale finito:

  • numeratore: il numero moltiplicato per la potenza di £$10$£ avente come esponente il numero delle cifre dopo la virgola
  • denominatore: la potenza di £$10$£ avente come esponente il numero delle cifre dopo la virgola

Caso 2. Numero decimale infinito periodico semplice:

  • numeratore: la differenza tra il numero senza la virgola e il numero formato dalla parte intera
  • denominatore: il numero formato da tanti £$9$£ quante sono le cifre del periodo

Caso 3: Numero decimale infinito periodico misto:

  • numeratore: la differenza tra il numero senza la virgola e il numero formato da tutte le cifre che precedono il periodo (parte intera e antiperiodo)
  • denominatore: il numero formato da tanti £$9$£ quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti £$0$£ quante sono le cifre dell'antiperiodo


Numeri irrazionali e numeri reali

Fino ad ora hai studiato l'insieme dei numeri razionali £$\mathbb{Q}$£ che contiene l'insieme dei numeri interi £$\mathbb{Z}$£ che a sua volta contiene l'insieme dei numeri naturali £$\mathbb{N}$£.

In questo video scoprirai l'insieme £$\mathbb{I}$£ dei numeri irrazionali, cioè quei numeri decimali con infinite cifre dopo la virgola che non possono essere scritti come rapporto tra due numeri interi, cioè non possono essere scritti come una frazione!
Per concludere vedrai che l'insieme che contiene l'insieme dei numeri razionali e irrazionali è quello dei numeri reali £$\mathbb{R}$£!