Frazioni, proprietà e semplificazione - Università

Una frazione è un rapporto tra due numeri interi £$a$£ e £$b$£, con £$b \ne 0 $£, che si indica come £$\frac{a}{b}$£. La linea tra i due numeri interi si chiama riga, o linea, di frazione. Una frazione permette di dividere in parti un intero e considerarne solo alcune.
Il numero che sta sopra la linea di frazione, £$a$£, è il numeratore, che ti dice quante parti dell'intero vengono considerate. Il numero che sta sotto la linea di frazione, £$b$£, si chiama denominatore e indica in quante parti è stato diviso l'intero: non può essere nullo, perché non ha senso dividere per zero. Al contrario del denominatore, il numeratore può essere nullo: se £$a=0$£ allora £$\frac{0}{b}=0$£. Considerare zero parti di un intero equivale a non avere comunque nulla, infatti £$0:b=0$£! Invece l'operazione £$0:0=\frac{0}{0}$£ è indeterminata.

Cosa accade se il numeratore è maggiore, minore uguale o multiplo del denominatore? In questi casi diamo nomi diversi alla frazione:
Frazioni proprie: sono quelle frazioni in cui il numeratore è minore del denominatore, cioè £$\frac{a}{b}$£ con £$a < b$£ e £$b \ne 0$£. Le frazioni proprie sono minori di £$1$£. Per esempio £$\frac{2}{3} < 1$£, infatti consideriamo un intero, l'unità, diviso in £$3$£ parti e ne prendiamo solo £$2$£: ci rimane ancora una parte (£$\frac{1}{3}$£) per ricostruire tutto l'intero.
Frazioni improprie: sono improprie le frazioni che hanno il numeratore maggiore del denominatore, cioè £$\frac{a}{b}$£ con £$a > b$£ e £$b \ne 0$£. Le frazioni improprie sono più grandi di £$1$£, perché indicano un numero di parti di quelle in cui è diviso l'intero. Per esempio £$\frac{7}{5} > 1$£, infatti ho un intero, l'unità, diviso in £$5$£ parti, ma ne devo considerare £$7$£. Per poterlo fare mi servono almeno £$2$£ interi uguali, divisi in £$5$£ parti uguali: il primo lo prendo tutto £$\frac{5}{5}$£, mentre del secondo prendo solo £$2$£ parti, cioè i £$\frac{2}{5}$£.
Frazioni apparenti: sono le frazioni in cui il numeratore è uguale, o multiplo del denominatore, cioè £$\frac{a}{b}$£ con £$a=n \cdot b$£ e £$b \ne 0$£, £$n \in \mathbb{N}$£. Queste frazioni si chiamano apparenti perché rappresentano un numero intero. Per esempio £$4:2=\frac{4}{2}=2$£, oppure £$\frac{3}{3}=1$£ sono frazioni apparenti.

Due frazioni sono equivalenti quando sono scritte in modo diverso ma rappresentano lo stesso valore. Per esempio: £$\frac{4}{2}$£ e £$\frac{8}{4}$£sono entrambe equivalenti a £$2$£, infatti £$4:2=8:4=2$£.
Per verificare se due frazioni sono equivalenti puoi usare il prodotto incrociato. Se il prodotto in croce fra i numeratori ed i denominatori delle due frazioni è lo stesso, allora le due frazioni sono equivalenti, cioè se il prodotto fra il numeratore della prima ed il denominatore della seconda è uguale al prodotto tra il numeratore della seconda ed il denominatore della prima, allora sono equivalenti anche le due frazioni. Per esempio £$\frac{2}{3}$£ e £$\frac{4}{6}$£ sono equivalenti perché £$2 \cdot 6 = 4 \cdot 3 = 12 $£.
Le frazioni sono delle divisioni, quindi possiamo applicare la proprietà invariantiva. La proprietà invariantiva dice che moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero diverso da zero si ottengono nuove frazioni equivalenti a quella di partenza. Per esempio data la frazione £$\frac{1}{2}$£, se moltiplichiamo numeratore e denominatore per £$5$£ otteniamo la frazione equivalente £$\frac{5}{10}$£. Partendo da £$\frac{5}{10}$£ se dividiamo numeratore e denominatore per £$5$£ otteniamo la frazione equivalente £$\frac{1}{2}$£.

Una frazione è una divisione e quindi puoi applicare la proprietà invariantiva: dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero il risultato non cambia, cioè si ottiene una frazione equivalente a quella di partenza. Questo processo si chiama semplificazione di una frazione. Per esempio, data la frazione £$\frac{21}{42}$£, puoi semplificarla dividendo numeratore e denominatore per £$7$£, quindi otterrai £$\frac{3}{6}$£.
Dividendo entrambi i termini della frazione per il loro M.C.D. (Massimo Comune Divisore), non potrai semplificare ulteriormente la frazione che si dice ridotta ai minimi termini.
In una frazione ridotta ai minimi termini il M.C.D. tra numeratore e denominatore è £$1$£, cioè non ci sono altri divisori comuni e quindi non può essere ulteriormente semplificata. La frazione £$\frac{3}{6}$£ non è ridotta i minimi termini, infatti £$ \text{M.C.D.}(3, 6) = 3 \ne 1$£.
Riprendiamo l'esempio di partenza. Semplifichiamo la frazione £$\frac{21}{42}$£ finché non è ridotta ai minimi termini. Il £$ \text{M.C.D.}(21, 42) =7 \cdot 3=21$£ allora dividendo numeratore e denominatore per £$21$£ si ottiene la frazione equivalente £$\frac{1}{2}$£, che è ridotta ai minimi termini.