Numeri primi e divisibilità nell'insieme N

I numeri primi sono numeri naturali, diversi da £$0$£ e £$1$£, che hanno come divisori soltanto £$1$£ e loro stessi. Per sapere se un numero naturale è divisibile per un altro dovremmo fare la divisione ed analizzare il resto. Impariamo i trucchi per la divisibilità per £$2$£, £$3$£, £$5$£, £$7$£ e £$11$£: i criteri di divisibilità.

Appunti

In matematica, i numeri primi sono uno degli argomenti più discussi. C'è chi si chiede quanti siano, chi cerca formule per calcolarli, chi si preoccupa di trovare alcune proprietà particolari di questi numeri. Noi partiamo dalla definizione di numero primo e vediamo alcuni elementi della successione dei numeri primi. Questi concetti ci saranno utili per capire meglio la divisibilità e la scomposizione in fattori primi.

I criteri di divisibilità sono quelle scorciatoie che ci permettono di capire se un numero è divisibile per un altro. La divisibilità per £$2$£ e per £$5$£ è semplice: basta guardare l'ultima cifra del numero. Per sapere se un numero è divisibile per £$3$£, somma le sue cifre. I criteri di divisibilità per £$7$£ e per £$11$£ sono un po' più macchinosi ma basta guardare i video e gli esercizi svolti per memorizzarli!

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Prerequisiti per imparare numeri primi e divisibilità nell'insieme £$ \mathbb{N} $£

Il prerequisito per imparare numeri primi e divisibilità nell'insieme £$\mathbb{N}$£ è:

Cosa sono i numeri primi

Cosa sono i numeri primi? Quali sono? Queste domande sono molto frequenti ed hanno fatto discutere anche tanti matematici.
Andiamo in ordine. I numeri primi sononumeri naturali, diversi da £$0$£ e da £$1$£ che hanno come divisori soltanto £$1$£ e loro stessi.
Questa è la definizione di numero primo. Quindi, quali sono i numeri primi? Elencarli tutti è difficile perché sono infiniti. In ordine crescente, possiamo però scrivere i primi elementi della successione dei numeri primi: £$2$£, £$3$£, £$5$£, £$7$£, £$11$£, £$13$£, ecc.
I numeri che non sono primi, quindi che hanno come divisori anche altri numeri oltre loro stessi e £$1$£, si chiamano numeri composti.

Come riconoscere un numero divisibile per 2, 3 o 5

Un numero è divisibile per un altro quando dividendoli, ottieni un numero intero con resto nullo. Quindi, per esempio £$35$£ è divisibile per £$5$£, perché £$35:5=7$£ con resto zero. £$2$£ non è divisibile per £$7$£, perché £$2:7$£ non si può fare nei numeri naturali! Stessa cosa per £$7:2$£: dà £$3$£ con il resto di £$1$£, quindi neanche il £$7$£ è divisibile per £$2$£!
Ogni volta che devi determinare la divisibilità di un numero per un altro non serve fare la divisione, puoi imparare alcuni trucchi: i criteri di divisibilità! Vediamo un modo facile per capire se un numero è divisibile per £$2$£, £$3$£ o £$5$£. Queste scorciatoie di calcolo saranno molto utili quando studierai la scomposizioni in fattori oppure le frazioni e la semplificazione!

Un numero è divisibile per £$2$£ se l'ultima cifra è pari £$(0, 2, 4, 6, 8)$£
Attenzione! £$0$£ è pari, perché £$0$£ diviso £$2$£ fa £$0$£ e resta £$0$£!

Un numero è divisibile per £$3$£ se e solo se la somma delle sue cifre è divisibile per £$3$£ . Per esempio £$75$£ è divisibile per £$3$£ perché £$7+5=12$£ che è divisibile per £$3$£ (£$12:3=4$£!)

Un numero è divisibile per £$5$£ se la sua ultima cifra è £$5$£ o £$0$£. Per esempio £$135$£, oppure £$270$£ sono divisibili per £$5$£, infatti: £$135:5=27$£, mentre £$270:5=54$£!

Quando un numero è divisibile per £$7$£ o per £$11$£

La divisibilità per £$2, 3$£ e £$5$£ è semplice da ricordare. Basta guardare l'ultima cifra del numero quando si tratta della divisibilità per £$2$£ e £$5$£, invece basta sommare le cifre del numero se vuoi scoprire se è divisibile per £$3$£424.
Altri due numeri interessanti sono il £$7$£757 e l'£$11$£11311. Esistono dei trucchi e delle scorciatoie che ti permettono di capire velocemente se un numero è divisibile per £$7$£ 47>102,3 o per £$11$£112,35.
Un numero (£$> 10$£) è divisibile per £$7$£7425 se la differenza, in valore assoluto, tra il numero ottenuto cancellando la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è £$0 $£ o £$ 7$£ 0,753 o un multiplo di £$7$£737. Per esempio £$84$£84>1011 è divisibile per £$7$£72,37 perché la differenza tra il numero, tolte le unità (£$8$£8511) e il doppio delle unità (£$4\cdot 2 = 8$£24=842>10) è nulla!
Un numero è divisibile per 1130,7 £$11$£ se la differenza, in valore assoluto, tra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari è 0,11>107 £$0 $£ o £$ 11$£ o multiplo di £$11$£112,384. Per esempio, £$143$£ 14357 è divisibile per £$11$£411428 perché (1+3)-4=0542=8£$(1+3)-4=0$£: infatti £$1+3$£ 1+3311è la somma delle cifre di posto dispari, 4>100,11 £$4$£ è la cifra di posto pari.
Ora che conosci questi trucchi per dividere per £$7 $£ o per £$11$£ allenati con gli esercizi!