Esercizi svolti, appunti e video lezioni su Insiemi numerici per la preparazione all’esame di Matematica dell’Università.

Insiemi numerici

Conosci tutti gli insiemi numerici? Qual è il rapporto tra gli insiemi numerici? È molto importante conoscere come sono fatti gli elementi degli insiemi numerici e le proprietà delle operazioni. Scopri in particolare l'insieme dei numeri reali e le sue proprietà caratterizzanti!

Conoscere le proprietà degli insiemi numerici è molto importante per capire bene le proprietà delle funzioni numeriche.

Gli insiemi numerici che studieremo sono:

  • l'insieme £$\mathbb{N}$£ dei numeri naturali
  • l'insieme £$\mathbb{Z}$£ dei numeri interi
  • l'insieme £$\mathbb{Q}$£ dei numeri razionali
  • l'insieme £$\mathbb{R}$£ dei numeri reali

In particolare, studieremo le proprietà dell'insieme £$\mathbb{R}$£: proprietà di completezza, topologia degli intervalli, estremo superiore e inferiore.

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Numeri naturali, interi, razionali

Gli insiemi numerici sono (appunto) insiemi, i cui elementi sono numeri. Ma ci sono diversi tipi di numeri e quindi diversi tipi di insiemi:

Insieme dei numeri naturali.  £$\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots, n, \ldots\}$£

Insieme dei numeri interi. £$\mathbb{Z}=\{\pm n : n \in \mathbb{N}\} \cup \{0\}$£

Insieme dei numeri razionali. £$\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n}: m\in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}\}$£ 

Insieme dei numeri naturali

Insieme dei numeri naturali.

Questo insieme può essere scritto nella forma £$\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots, n, \ldots\}$£.

È un insieme di cardinalità infinita ed è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto. Questo significa che la somma e il prodotto di due numeri naturali è ancora un numero naturale.

Alcuni autori (libri, siti internet) considerano lo £$0$£ un numero naturale, quindi in questi casi avremo £$\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$£.
Altri invece non considerano lo £$0$£ un numero naturale e per indicare l'insieme dei naturali con lo £$0$£ viene usato questo simbolo £$\mathbb{N}_{0}=\{0,1,2,3,\ldots\}$£.
L'importante è conoscere quale definizione utilizza l'autore del testo che state leggendo e agire di conseguenza.

Insieme dei numeri interi

Insieme dei numeri interi.

Questo insieme ha questa rappresentazione: £$\mathbb{Z}=\{\pm n : n \in \mathbb{N}\} \cup \{0\}$£.

Quindi è l'insieme dei numeri naturali "con segno".

Anche questo insieme ha cardinalità infinita ed è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto. Questo significa che la somma e il prodotto di due numeri interi è ancora un numero intero.

 

Insieme dei numeri razionali

Insieme dei numeri razionali.

L'insieme £$\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n}: m\in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}\}$£ ha cardinalità infinita ed è chiuso rispetto alle operazioni di somma, prodotto e divisione.

L'insieme dei numeri razionali è denso in sé: significa che per ogni coppia di numeri razionali, è sempre possibile trovare un altro numero razionale che sia compreso tra questi due (pensa al punto medio).

Per come sono definiti, vale la catena di inclusione £$\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} $£

Ma non tutti i numeri sono contenuti in £$\mathbb{Q}$£. Ad esempio, non esiste nessun numero razionale £$c$£ tale che £$c^2=2$£.

Vediamo di dimostrarlo.
Supponiamo, per assurdo, che esista un numero razionale £$c=\frac{m}{n}$£ tale che £$\frac{m^2}{n^2}=2$£. Possiamo supporre che £$m$£ e £$n$£ siano coprimi tra loro, cioè ridotti ai minimi termini. Questo comporta che £$m$£ e £$n$£ non siano entrambi pari (altrimenti potrei semplificare per £$2$£).
Allora vale £$m^2=2n^2$£. Quindi, visto che al secondo membro abbiamo un numero pari (perché moltiplicato per £$2$£), anche £$m^2$£ deve essere pari e di conseguenza anche £$m$£. Allora possiamo scrivere £$m=2k$£ con £$k$£ numero intero. Sostituiamo nella nostra uguaglianza e abbiamo £$4k^2=2n^2$£, da cui segue £$n^2=2k^2$£. Ma allora anche £$n$£ è un numero pari! Questo però è in contraddizione con la nostra ipotesi. Siamo arrivati a un assurdo.
Abbiamo quindi dimostrato la tesi, cioè che non esiste nessun numero razionale £$c$£ tale che £$c^2=2$£.

Allora, dobbiamo introdurre un nuovo insieme numerico: l'insieme £$\mathbb{R}$£ dei numeri reali.

L'insieme dei numeri reali

L'insieme dei numeri reali contiene tutti i numeri razionali e tutti i numeri, detti irrazionali, che hanno una successione infinita di numeri dopo la virgola (chiamato anche sviluppo decimale) non periodico, cioè che non si ripete con uno schema preciso.
Ad esempio, £$\pi$£ e £$\sqrt{2}$£ sono numeri irrazionali.
L'insieme dei numeri reali è un insieme infinito, ma ha la cardinalità del continuo. Questo significa che ha molti più elementi dell'insieme dei numeri naturali (pur essendo entrambi insiemi infiniti).

Proprietà dell'insieme dei numeri reali. L'insieme £$\mathbb{R}$£ è denso in sé, ma anche l'insieme £$\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$£ è denso in £$\mathbb{R}$£ cioè fra due numeri reali distinti ce n'è uno irrazionale (non appartenente a £$\mathbb{Q}$£).

Completezza di £$\mathbb{R}$£. L'insieme dei numeri reali è completo. Cosa significa? Per ogni coppia di sottoinsiemi £$A, B \subset \mathbb{R}$£, non vuoti e tali che £$a\le b$£ per ogni £$a\in A$£ e per ogni £$b\in B$£ esiste un £$x_{0}\in\mathbb{R}$£ (detto elemento separatore) tale che £$a\le x_{0} \le b$£.

Topologia degli intervalli

Un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali formato da tutti i punti della retta reale che sono compresi tra due estremi £$a$£ e £$b$£. Quindi sono intervalli £$[0,1)$£, £$-\infty,9)$£, £$(0, +\infty)$£.

Vediamo quali sono i tipi di intervalli che possiamo incontrare:

  • intervalli limitati: sono quelli del tipo £$(a,b)$£ con £$a,b \in \mathbb{R}$£. Le parentesi possono essere tonde o quadre, non fa differenza.
  • intervalli illimitati superiormente: sono gli intervalli del tipo £$(a,+\infty)$£ con £$a\in \mathbb{R}$£. La parentesi vicino ad £$a$£ può essere tonda o quadra. Quella vicino a £$+\infty$£ è rigorosamente tonda.
  • intervalli illimitati inferiormente: sono gli intervalli del tipo £$(-\infty, b)$£ con £$b \in \mathbb{R}$£. La parentesi vicino ad £$b$£ può essere tonda o quadra. Quella vicino a £$-\infty$£ è rigorosamente tonda.

Ma cosa significano le parentesi tonde o quadre? È facile! la parentesi tonda indica che l'elemento vicino alla parentesi non appartiene all'intervallo. Se invece c'è la parentesi quadra, allora l'elemento appartiene all'intervallo.

ESEMPIO: l'intervallo £$[0, 1)$£ è limitato. Lo £$0$£ appartiene all'insieme (è cioè un suo elemento) ma l'£$1$£ no perché vicino c'è la parentesi tonda.

Massimo, minimo, estremo superiore e inferiore

Prendiamo un insieme £$A\subseteq \mathbb{R}$£ e un £$x_{0} \in \mathbb{R}$£. Allora:

  • £$x_{0}$£ è un maggiorante di £$A$£ se e soltanto se £$x_{0} \ge a, \forall a \in A$£
  • £$x_{0}$£ è un minorante di £$A$£ se e soltanto se £$x_{0} \le a, \forall a \in A$£
  • £$x_{0}$£ è il massimo di £$A$£ (£$x_{0}=\max A$£) se e soltanto se £$x_{0}$£ è un maggiorante di £$ A$£ e £$x_{0} \in A$£
  • £$x_{0}$£ è il minimo di £$A$£ (£$x_{0}=\min A$£) se e soltanto se £$x_{0}$£ è un minorante di £$ A$£ e £$x_{0} \in A$£
  • £$x_{0}$£ è l'estremo superiore di £$A$£ (£$x_{0}=\sup A$£) se e soltanto se £$x_{0}$£ è il minimo dei maggioranti di £$ A$£
  • £$x_{0}$£ è l'estremo inferiore di £$A$£ (£$x_{0}=\inf A$£) se e soltanto se £$x_{0}$£ è il massimo dei minoranti di £$ A$£

Detto questo, valgono i seguenti teoremi.

Teorema di esistenza dell'estremo superiore. Ogni sottoinsieme non vuoto limitato superiormente di £$\mathbb{R}$£ ammette estremo superiore.

Teorema di esistenza dell'estremo inferiore. Ogni sottoinsieme non vuoto limitato inferiormente di £$\mathbb{R}$£ ammette estremo inferiore.

ESEMPIO: consideriamo l'intervallo £$I=[0,1) \in \mathbb{R}$£. Abbiamo che:

  • l'insieme £$A=[1, +\infty)$£ è l'insieme dei maggioranti di £$I$£: infatti, tutti gli elementi di £$A$£ sono maggiori o uguali a ogni elemento di £$I$£. In particolare, £$1$£ è il minimo di questo insieme. Quindi £$1$£ è l'estremo superiore di £$I$£. Non è però massimo perché £$1 \notin I$£
  • l'insieme £$B=(-\infty,0]$£ è l'insieme dei minoranti di £$I$£: infatti, tutti gli elementi di £$B$£ sono minori o uguali a ogni elemento di £$I$£. In particolare, £$0$£ è il massimo di questo insieme. Quindi £$0$£ è l'estremo inferiore di £$I$£. Ma £$0 \in I$£, quindi £$0=\min I$£