Conosci tutti gli insiemi numerici? Qual è il rapporto tra gli insiemi numerici? È molto importante conoscere come sono fatti gli elementi degli insiemi numerici e le proprietà delle operazioni. Scopri in particolare l'insieme dei numeri reali e le sue proprietà caratterizzanti!
Conoscere le proprietà degli insiemi numerici è molto importante per capire bene le proprietà delle funzioni numeriche.
Gli insiemi numerici che studieremo sono:
In particolare, studieremo le proprietà dell'insieme £$\mathbb{R}$£: proprietà di completezza, topologia degli intervalli, estremo superiore e inferiore.
Gli insiemi numerici sono (appunto) insiemi, i cui elementi sono numeri. Ma ci sono diversi tipi di numeri e quindi diversi tipi di insiemi:
Insieme dei numeri naturali. £$\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots, n, \ldots\}$£
Insieme dei numeri interi. £$\mathbb{Z}=\{\pm n : n \in \mathbb{N}\} \cup \{0\}$£
Insieme dei numeri razionali. £$\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n}: m\in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}\}$£
Insieme dei numeri naturali.
Questo insieme può essere scritto nella forma £$\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots, n, \ldots\}$£.
È un insieme di cardinalità infinita ed è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto. Questo significa che la somma e il prodotto di due numeri naturali è ancora un numero naturale.
Alcuni autori (libri, siti internet) considerano lo £$0$£ un numero naturale, quindi in questi casi avremo £$\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$£.
Altri invece non considerano lo £$0$£ un numero naturale e per indicare l'insieme dei naturali con lo £$0$£ viene usato questo simbolo £$\mathbb{N}_{0}=\{0,1,2,3,\ldots\}$£.
L'importante è conoscere quale definizione utilizza l'autore del testo che state leggendo e agire di conseguenza.
Insieme dei numeri interi.
Questo insieme ha questa rappresentazione: £$\mathbb{Z}=\{\pm n : n \in \mathbb{N}\} \cup \{0\}$£.
Quindi è l'insieme dei numeri naturali "con segno".
Anche questo insieme ha cardinalità infinita ed è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto. Questo significa che la somma e il prodotto di due numeri interi è ancora un numero intero.
Insieme dei numeri razionali.
L'insieme £$\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n}: m\in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}\}$£ ha cardinalità infinita ed è chiuso rispetto alle operazioni di somma, prodotto e divisione.
L'insieme dei numeri razionali è denso in sé: significa che per ogni coppia di numeri razionali, è sempre possibile trovare un altro numero razionale che sia compreso tra questi due (pensa al punto medio).
Per come sono definiti, vale la catena di inclusione £$\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} $£
Ma non tutti i numeri sono contenuti in £$\mathbb{Q}$£. Ad esempio, non esiste nessun numero razionale £$c$£ tale che £$c^2=2$£.
Vediamo di dimostrarlo.
Supponiamo, per assurdo, che esista un numero razionale £$c=\frac{m}{n}$£ tale che £$\frac{m^2}{n^2}=2$£. Possiamo supporre che £$m$£ e £$n$£ siano coprimi tra loro, cioè ridotti ai minimi termini. Questo comporta che £$m$£ e £$n$£ non siano entrambi pari (altrimenti potrei semplificare per £$2$£).
Allora vale £$m^2=2n^2$£. Quindi, visto che al secondo membro abbiamo un numero pari (perché moltiplicato per £$2$£), anche £$m^2$£ deve essere pari e di conseguenza anche £$m$£. Allora possiamo scrivere £$m=2k$£ con £$k$£ numero intero. Sostituiamo nella nostra uguaglianza e abbiamo £$4k^2=2n^2$£, da cui segue £$n^2=2k^2$£. Ma allora anche £$n$£ è un numero pari! Questo però è in contraddizione con la nostra ipotesi. Siamo arrivati a un assurdo.
Abbiamo quindi dimostrato la tesi, cioè che non esiste nessun numero razionale £$c$£ tale che £$c^2=2$£.
Allora, dobbiamo introdurre un nuovo insieme numerico: l'insieme £$\mathbb{R}$£ dei numeri reali.
L'insieme dei numeri reali contiene tutti i numeri razionali e tutti i numeri, detti irrazionali, che hanno una successione infinita di numeri dopo la virgola (chiamato anche sviluppo decimale) non periodico, cioè che non si ripete con uno schema preciso.
Ad esempio, £$\pi$£ e £$\sqrt{2}$£ sono numeri irrazionali.
L'insieme dei numeri reali è un insieme infinito, ma ha la cardinalità del continuo. Questo significa che ha molti più elementi dell'insieme dei numeri naturali (pur essendo entrambi insiemi infiniti).
Proprietà dell'insieme dei numeri reali. L'insieme £$\mathbb{R}$£ è denso in sé, ma anche l'insieme £$\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$£ è denso in £$\mathbb{R}$£ cioè fra due numeri reali distinti ce n'è uno irrazionale (non appartenente a £$\mathbb{Q}$£).
Completezza di £$\mathbb{R}$£. L'insieme dei numeri reali è completo. Cosa significa? Per ogni coppia di sottoinsiemi £$A, B \subset \mathbb{R}$£, non vuoti e tali che £$a\le b$£ per ogni £$a\in A$£ e per ogni £$b\in B$£ esiste un £$x_{0}\in\mathbb{R}$£ (detto elemento separatore) tale che £$a\le x_{0} \le b$£.
Un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali formato da tutti i punti della retta reale che sono compresi tra due estremi £$a$£ e £$b$£. Quindi sono intervalli £$[0,1)$£, £$-\infty,9)$£, £$(0, +\infty)$£.
Vediamo quali sono i tipi di intervalli che possiamo incontrare:
Ma cosa significano le parentesi tonde o quadre? È facile! la parentesi tonda indica che l'elemento vicino alla parentesi non appartiene all'intervallo. Se invece c'è la parentesi quadra, allora l'elemento appartiene all'intervallo.
ESEMPIO: l'intervallo £$[0, 1)$£ è limitato. Lo £$0$£ appartiene all'insieme (è cioè un suo elemento) ma l'£$1$£ no perché vicino c'è la parentesi tonda.
Prendiamo un insieme £$A\subseteq \mathbb{R}$£ e un £$x_{0} \in \mathbb{R}$£. Allora:
Detto questo, valgono i seguenti teoremi.
Teorema di esistenza dell'estremo superiore. Ogni sottoinsieme non vuoto limitato superiormente di £$\mathbb{R}$£ ammette estremo superiore.
Teorema di esistenza dell'estremo inferiore. Ogni sottoinsieme non vuoto limitato inferiormente di £$\mathbb{R}$£ ammette estremo inferiore.
ESEMPIO: consideriamo l'intervallo £$I=[0,1) \in \mathbb{R}$£. Abbiamo che:
