Prerequisiti per imparare cosa sono le disuguaglianze e quali sono le loro proprietà
I prerequisiti per imparare cosa sono le disuguaglianze e quali sono le loro proprietà sono:
Disuguaglianze e proprietà
Prima di studiare le equazioni lineari avevi imparato il concetto di identità, ora farai una cosa analoga: prima si introduce la definizione di disuguaglianza tra numeri e le sue proprietà, poi si vedrà che cos’è una disequazione lineare!
Una disuguagalianza matematica, è un’espressione che lega due quantità indicando quando una è minore o maggiore dell’altra. Una disuguaglianza è formata quindi da un primo membro, un simbolo di maggiore £$ > $£ o minore £$ < $£ seguito dal secondo membro.
Esistono diverse proprietà delle disuguaglianze che valgono anche quando studierai le disequazioni:
- se sommi o sottrai entrambi i membri di una disuguaglianza per uno stesso numero otterrai una disuguaglianza equivalente a quella che avevi
- se moltipichi entrambi i membri di una disuguaglianza per uno stesso numero positivo otterrai una disuguaglianza equivalente a quella che avevi
- se moltipichi entrambi i membri di una disuguaglianza per uno stesso numero negativo otterrai una disuguaglianza equivalente a quella che avevi ma devi ricordarti di cambiare il verso della disuguaglianza!
- puoi sommare o moltiplicare membro a membro due disuguaglianze
- data una disuguaglianza fra numeri concordi (cioè dello stesso segno) e £$\neq 0$£, la disuguaglianza fra i loro reciproci è di verso opposto rispetto a quella di partenza.
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Che cos'è una disuguaglianza in matematica
Le disuguaglianze sono espressioni matematiche che indicano che una quantità è minore o maggiore di un’altra.
Per esempio: £$2>-7$£ oppure £$8<9$£. Il simbolo £$ > $£ si legge “è maggiore di” mentre £$ < $£ “è minore di”. Come per le identità la quantità che sta a sinistra del verso della disuguaglianza si chiama primo membro, mentre a destra c’è il secondo membro.
Proprietà di somma e moltiplicazione per un numero
Ora vedrai alcune importanti proprietà delle disuguaglianze. Se sommi o sottrai uno stesso numero da entrambi i membri, il verso della disuguaglianza cambia? No, è il primo principio di equivalenza! E il secondo principio di equivalenza vale ancora? Se moltiplichi (o dividi) entrambi i membri per un numero positivo il verso rimane ancora lo stesso!
Devi stare attento, invece, se vuoi moltiplicare (o dividere) entrambi i membri per un numero NEGATIVO! Il segno della disuguaglianza cambia! Per esempio, prendi £$-1<3$£, e moltiplica entrambi i membri per £$-2$£: £$-1\cdot (-2)=2$£ e £$3\cdot(-2)=-6$£. Se il verso della disuguaglianza rimanesse lo stesso avresti £$2<-6$£ che non è più vero!
Quindi se moltiplichi o dividi entrambi i membri di una disuguaglianza per un numero negativo devi cambiare il verso della disuguaglianza!
Proprietà di somma e moltiplicazione tra disuguaglianze
Operazioni tra due disuguaglianze! Puoi sommare o moltiplicare membro a membro due disuguaglianze senza paura perchè il verso della disuguaglianza rimane lo stesso sempre ma non puoi sottrarre due disuguaglianze: a volte il verso cambia e a volte rimane lo stesso! Quindi devi stare attento!
L’ultima proprietà riguarda i reciproci dei numeri: prendi £$2<3$£, i reciproci sono £$\frac{1}{2}$£ e £$\frac{1}{3}$£. Se vuoi scriverli come una disuguaglianza devi invertire il verso £$\frac{1}{2}>\frac{1}{3}$£! Ma se invece consideri £$-3<2$£ la disuguaglianza dei reciproci mantiene lo stesso verso £$-\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$£ Quindi data una disuguaglianza fra numeri concordi (cioè dello stesso segno) e £$\neq 0$£, la disuguaglianza fra i loro reciproci è di verso opposto rispetto a quella di partenza.