Prerequisiti per imparare a risolvere le disequazioni
I prerequisiti per imparare a risolvere le disequazioni sono:
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Introduzione alle disequazioni
Un’introduzione alle disequazioni per capire che cosa sono in matematica. La soluzione di un’equazione lineare è un certo valore dell’incognita £$x$£, la soluzione di una disequazione, invece, sarà un’intervallo di valori di £$x$£! Ma come si scrivono e come si rappresentano gli intervalli? Guarda i video e fai gli esercizi!
Appunti
Una disequazione è una disuguaglianza matematica tra due espressioni letterali che è verificata per alcuni valori dell’incognita.
Come le equazioni anche le disequazioni hanno un primo e un secondo membro, ma invece di esserci in mezzo il simbolo £$=$£ potrai trovare uno di questi quattro simboli: £$ >, \ge, <, \le$£.
Se nella disequazione, il grado massimo dell’incognita £$x$£ è pari a £$1$£ allora la disequazione si dice lineare.
Anche le disequazioni, così come le equazioni, possono essere classificate in due modi:
- numeriche o letterali: se compaiono altre lettere oltre l’incognita £$x$£ la disequazione si chiama letterale, se non ne compaiono si dice intera
- intere o fratte: se l’incognita compare anche a denominatore la disequazione è fratta, altrimenti si chiama intera
La soluzione di una disequazione è un intervallo che può essere illimitato se comprende il valore £$\pm\infty$£ o limitato se non lo comprende, chiuso come per esempio l’intervallo £$[2,3]$£ o aperto cioè £$(2,3)$£.
Ora che sai che cos’è una disequazione e come si rappresentano le sue soluzioni sei pronto per risolverle usando i due principi di equivalenza con una piccola eccezione confronto alle equazioni:
Sommando o sottraendo uno stesso numero da entrambi i membri della disequazione se ne ottiene una equivalente (cioè con lo stesse soluzioni) e il verso della disequazione non cambia.
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri per un numero positivo il verso della disequazione non cambia e se ne ottiene una equivalente, mentre moltiplicando o dividendo entrambi i membri per un numero negativo si ottiene una disequazione equivalente cambiando il verso della disequazione
Anche una disequazione, come un’equazione, può essere determinata, cioè esiste un intervallo di valori dell’incognita che la rendono vera, impossibile, cioè non esiste alcun valore dell’incognita che la renda vera, o sempre verificata, cioè qualsiasi valore sostituisci all’incognita la disequazione è sempre verificata!
Contenuti di questa lezione su: Introduzione alle disequazioni
A cosa servono le disequazioni?
Nella vita di tutti i giorni può capitarti di usare o leggere delle disequazioni nascoste: le usi e non ci fai neanche caso! Per esempio quando vedi il cartello di limite di velocità come quello qui di fianco sai che non devi superare la velocità di £$90 \ km/h$£. Sostituisci una £$x$£ alla velocità e ottieni la disequazione £$x\le 90\ km/h$£.
Un'altro esempio lo trovi al luna park: spesso ai cancelli delle montagne russe si trova un metro. Se sei alto più di £$120 \ cm$£ allora puoi andare a divertiti, ma se sei più basso non ti fanno passare e devi trovare un'altra giostra. Anche in questo caso stai usando una disequazione: se la £$x$£ è la tua altezza, potrai andare sulle montagne russe se £$x\ge 120\ cm$£!
Cosa sono le disequazioni
Una disequazione è una disuguaglianza tra espressioni letterali verificata solo per particolari valori (che possono essere finiti o infiniti, esistere o non esistere) delle lettere che vi compaiono. Le lettere per le quali cerchiamo i valori che rendono valida la disuguaglianza si chiamano incognite (ad esempio £$x$£).
Mentre nelle equazioni i due membri sono separati dal simbolo £$=$£ nelle disequazioni possono essere separati da £$>, <, \le \ge$£
Se nella disequazione, il grado massimo dell’incognita £$x$£ è £$1$£ allora la disequazione si dice lineare.
Disequazioni numeriche, letterali, intere e fratte
Così come le equazioni, anche le disequazioni posso essere intere o fratte, numeriche o letterali!
Per esempio £$\frac{x}{2}+7 \ge \frac{4}{3}x$£ è una disequazione intera poichè la £$x$£ non compare a denominatore, mentre £$\frac{2}{x}+7 \ge \frac{4}{3}x$£ è una disequazione fratta poichè a denominatore appare l’incognita £$x$£.
Puoi dire anche se una disequazione è numerica o letterale: dipende se, oltre all’incognita £$x$£, c’è un’altra lettera nella disequazione. £$\frac{x}{2}+7 \ge \frac{4}{3}x$£ è anche una disequazioni numerica mentre £$ax+7<4x$£ è letterale.
Come può essere un intervallo
Intervalli limitati
Intervalli illimitati
Un intervallo può essere limitato o illimitato: è illimitato quando almeno uno dei due estremi (inferiore o superiore) è l’infinito £$\infty$£. Si chiama limitato invece se entrambi gli estremi sono numeri reali, quindi valori finiti!
Esiste anche un’altra “etichetta” che si può dare ad un intervallo: aperto e chiuso. Bisogna guardare gli estremi dell’intervallo:- £$(a,b)$£ è un intervallo limitato aperto a destra e a sinistra
- £$(a,b]$£ è un intervallo limitato aperto a sinistra e chiuso a destra
- £$[a,b)$£ è un intervallo limitato chiuso a sinistra e aperto a destra
- £$[a,b]$£ è un intervallo limitato chiuso a sinistra e a destra
- £$(-\infty, b]$£ è un intervallo illimitato inferiormente e chiuso a destra
- £$[a, +\infty)$£ è un intervallo illimitato superiormente e chiuso a sinistra
- £$(-\infty, b)$£ è un intervallo illimitato inferiormente e aperto a destra
- £$(a, +\infty)$£ è un intervallo illimitato superiormente e aperto a sinistra
- £$(-\infty, +\infty)$£ è un intervallo illimitato superiormente e inferiormente
Quali sono e come si rappresentano le soluzioni delle disequazioni
Determinate, impossibili, sempre verificate
Esercizio svolto
Se sai risolvere le equazioni allora sei sicuramente in grado di risolvere anche le disequazioni, valgono sempre i due principi di equivalenza, con una piccola eccezione per il secondo: se moltiplichi o dividi una disequazione per un numero negativo devi cambiare anche il verso della disequazione! Ora sei pronto!
Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso intervallo di soluzioni: se tutte le soluzioni di una disequazione sono soluzioni anche dell'altra disequazione, allora le due disequazioni sono equivalenti.
Anche una disequazione può essere:
- determinata, cioè esiste un intervallo di valori dell’incognita £$x$£ che la rendono vera;
- impossibile, cioè non esiste alcun valore dell'incognita £$x$£ che la renda vera;
- sempre verificata, cioè qualsiasi valore sostituisci all’incognita £$x$£ la disequazione è sempre valida.
Come puoi verificare se un numero appartiene all’intervallo delle soluzioni di una disequazione, senza risolverla? Facilissimo prendi il valore del punto e sostituiscilo all’incognita £$x$£ della disequazione: se la disuguaglianza finale è vera allora il punto appartiene all’intervallo delle soluzioni, se è falsa no!
