Esercizi svolti, appunti e video lezioni su Equazioni di grado superiore al secondo  per la preparazione all’esame di Matematica dell’Università.

Equazioni di grado superiore al secondo

Scopri le equazioni di grado superiore al secondo, impara come risolverle attraverso la scomposizione in fattori e la regola di Ruffini. Riconosci le equazioni binomie e trinomie e trova le soluzioni estraendo la radice o facendo una opportuna sostituzione.

Quanti modi ci sono per risolvere equazioni di grado 3, 4, 5, ecc...? Equazioni binomie e trinomie ti confondono? Non ti ricordi la regola di Ruffini e non sai scomporre un polinomio? Ripassiamo tutto insieme e studiamo le equazioni di grado superiore al secondo.

Ecco cosa imaprerai in questa lezione:

  • Equazioni di grado superiore al secondo: cosa sono e come si scrivono
  • Scomposizione in fattori: come risolvere un'equazione in cui compare un polinomio scomposto in fattori
  • Regola di Ruffini: cosa è e come si applica la regola di Ruffini
  • Equazioni binomie: cosa sono e come risolverle
  • Equazioni trinomie: quali sono e come risolverle

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Prerequisiti per imparare le equazioni di grado superiore al secondo

I prerequisiti per imparare le equazioni di grado superiore al secondo sono:

Come si risolvono le equazioni di grado superiore al secondo

Una equazione di grado £$n$£ è una equazione del tipo: £$ a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+..a_1x-a_0x^0=0 $£ in cui i coefficienti a appartengono all'insieme dei numeri reali (£$ \mathbb{R} $£).

Quando ci troviamo di fronte un'equazione di grado superiore al II, possiamo:

- scomporre il polinomio in un prodotto di polinomi di grado inferiore (utilizzando i raccoglimenti, i prodotti notevoli e le regole sulla scomposizione dei polinomi)

- applicare la legge di annullamento del prodotto: un prodotto è nullo quando è nullo uno dei fattori che lo compongono.

Per scomporre un polinomio di grado superiore al II può essere necessaria la regola di Ruffini. Infatti per il teorema di Ruffini: un polinomio £$ P(x)$£ è divisibile per il binomio £$ (x-a)$£ se e solo se £$P(a)=0 $£ ovvero solo se £$a$£ è uno zero (radice) del polinomio di partenza.

Allora, per scomporre £$P(x)$£ possiamo ricercare "a mano" il valore £$a$£, eseguire la divisione tra £$P(x)$£ e £$(x-a)$£ e ottenere così un polinomio quoziente £$Q(x)$£, di grado £$n – 1$£ (uno in meno di £$P(x)$£ ) per poter scrivere la scomposizione cercata: £$P(x)=(x-a)Q(x)$£.

Come risolvere le equazioni binomie e trinomie


Un tipo di equazione di grado superiore al II che presenta un semplice metodo di risoluzione è quello delle equazioni binomie.
Le equazioni binomie sono della forma £$ax^n+b=0$£ in cui £$n$£ è un numero intero positivo e £$a$£, £$b$£ sono numeri reali, con £$a\ne0 $£
In generale, possiamo scrivere l'equazione come £$ ax^n=-b $£
I casi più semplici sono con £$n=1,2$£: l'equazione diventa di I o II grado da risolvere con i metodi già visti.
Quando £$n$£ è dispari, la soluzione (unica!) si ricava estraendo la radice n-esima, qualunque sia il segno dei coefficienti £$a$£ e £$b$£.
Quando £$n$£ è pari (e £$ b < 0 $£) abbiamo due soluzioni opposte di segno.

Infine vediamo le equazione trinomie, in cui gli esponenti delle incognite sono l'uno il doppio dell'altro.
Sono equazioni del tipo: £$ax^{2n}+bx^n+c=0$£ in cui £$n$£ è numero intero positivo e £$a,b,c$£ sono numeri reali. Possiamo risolvere equazioni di questo tipo riconducendole a equazioni di II grado con delle opportune sostituzioni.