Equazioni di grado superiore al secondo

Una equazione di grado £$n$£ è una equazione del tipo: £$ a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+..a_1x-a_0x^0=0 $£ in cui i coefficienti a appartengono all'insieme dei numeri reali (£$ \mathbb{R} $£).

Quando ci troviamo di fronte un'equazione di grado superiore al II, possiamo:

- scomporre il polinomio in un prodotto di polinomi di grado inferiore (utilizzando i raccoglimenti, i prodotti notevoli e le regole sulla scomposizione dei polinomi)

- applicare la legge di annullamento del prodotto: un prodotto è nullo quando è nullo uno dei fattori che lo compongono.

Per scomporre un polinomio di grado superiore al II può essere necessaria la regola di Ruffini. Infatti per il teorema di Ruffini: un polinomio £$ P(x)$£ è divisibile per il binomio £$ (x-a)$£ se e solo se £$P(a)=0 $£ ovvero solo se £$a$£ è uno zero (radice) del polinomio di partenza.

Allora, per scomporre £$P(x)$£ possiamo ricercare "a mano" il valore £$a$£, eseguire la divisione tra £$P(x)$£ e £$(x-a)$£ e ottenere così un polinomio quoziente £$Q(x)$£, di grado £$n – 1$£ (uno in meno di £$P(x)$£ ) per poter scrivere la scomposizione cercata: £$P(x)=(x-a)Q(x)$£.

Un tipo di equazione di grado superiore al II che presenta un semplice metodo di risoluzione è quello delle equazioni binomie.
Le equazioni binomie sono della forma £$ax^n+b=0$£ in cui £$n$£ è un numero intero positivo e £$a$£, £$b$£ sono numeri reali, con £$a\ne0 $£
In generale, possiamo scrivere l'equazione come £$ ax^n=-b $£
I casi più semplici sono con £$n=1,2$£: l'equazione diventa di I o II grado da risolvere con i metodi già visti.
Quando £$n$£ è dispari, la soluzione (unica!) si ricava estraendo la radice n-esima, qualunque sia il segno dei coefficienti £$a$£ e £$b$£.
Quando £$n$£ è pari (e £$ b < 0 $£) abbiamo due soluzioni opposte di segno.

Infine vediamo le equazione trinomie, in cui gli esponenti delle incognite sono l'uno il doppio dell'altro.
Sono equazioni del tipo: £$ax^{2n}+bx^n+c=0$£ in cui £$n$£ è numero intero positivo e £$a,b,c$£ sono numeri reali. Possiamo risolvere equazioni di questo tipo riconducendole a equazioni di II grado con delle opportune sostituzioni.