Funzione quadratica e parabola

Le equazioni di secondo grado rappresentano una figura nel piano cartesiano: la parabola. Impara le prime nozioni su questa funzione quadratica: vertice e asse di simmetria. Scopri le relazioni tra le parabole e la ricerca degli zeri delle equazioni di secondo grado.

Vuoi imparare a risolvere graficamente le equazioni di secondo grado? Ora che hai imparato a risolvere le equazioni di secondo grado algebricamente, sei pronto a scoprire la funzione associata ad un polinomio di secondo grado ed trovare i collegamenti con la risoluzione di un'equazione.

In questa video lezione vedrai:

- Funzione parabola £$ y=ax^2 $£: come si disegna e quali sono le caratteristiche di una parabola di equazione £$ y=ax^2 $£

- Funzione parabola £$ y=ax^2+bx+c $£: come si disegna e quali sono le caratteristiche di una parabola di equazione £$ y=ax^2+bx+c $£

- Zeri della parabola: cosa sono gli zeri di una parabola e quale relazione hanno con le equazioni di secondo grado

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Prerequisiti per imparare funzione quadratica e parabola

I prerequisiti per imparare funzione quadratica e parabola sono:

Funzione parabola £$y=ax^2$£

Un'equazione di I grado £$ax = b$£ si interpreta come la ricerca delle intersezioni della retta £$y = ax – b $£ con l'asse £$x$£. Ad una retta è associabile una funzione di I grado.
A cosa corrispondono le equazioni di II grado?
La parabola è una figura nel piano che possiamo associare ad una equazione di II grado. Il segno del coefficiente £$a$£ indica se la parabola va verso l'alto o verso il basso, ovvero se la sua concavità è verso l'alto o verso il basso:

  • £$a > 0$£: concavità verso l'alto
  • £$a < 0$£: concavità verso il basso

Il valore di £$a$£ indica l'apertura della parabola.
All'aumentare di £$a$£, le parabole si stringono attorno al proprio asse.

Funzione parabola £$y=ax^2+bx+c$£

Per disegnare una parabola, quando conosci la sua equazione, sono sufficienti:

  • il vertice (cioè il punto più basso se £$a > 0$£, il punto più alto se £$a < 0$£);
  • l'asse di simmetria (quello che fa da “specchio" ai due rami della parabola).

Prima di affrontare lo studio della parabola completa, vediamo alcuni casi particolari:

  • £$b=0$£: il vertice è sempre sull'asse £$y$£: £$V(0; c)$£. L'asse di simmetria è l'asse £$y$£;
  • £$c=0$£: l'asse di simmetria è la retta verticale che passa per il vertice;
  • £$b=c=0$£: siamo nel primo caso, già studiato.

Come trovare gli zeri di una parabola

Qual è la relazione tra le parabole e le equazioni di II grado?
Ad ogni equazione di II grado £$ax^2 + bx + c = 0$£ possiamo associare una parabola corrispondente £$y = ax^2 + bx + c$£.
L'equazione di II grado ha una sola incognita: £$x$£.L'equazione della parabola è una funzione e ci sono due incognite: £$x$£ e £$y$£.
Quindi risolvere l'equazione è equivalente a risolvere il sistema formato dall'equazione della parabola e dalla retta £$y=0$£.
L'asse £$x$£ ha equazione £$y=0$£: il sistema rappresenta l'intersezione tra la parabola e l'asse £$x$£. Quindi trovare i valori di £$x$£ per cui la £$y$£ è £$=0$£ significa trovare i valori di £$x$£ per cui la parabola interseca l'asse delle £$x$£.
Risolvere l'equazione è equivalente a trovare gli zeri (ovvero i punti di intersezione con l'asse £$x$£) della parabola.

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