Risoluzione e principi di equivalenza

Come risolvere le equazioni? Scoprilo con i nostri video e gli esercizi svolti sulle equazioni lineari. Scopri i principi di equivalenza delle equazioni e usali per risolvere gli esercizi sulle equazioni lineari.

Risolvere le equazioni è semplice se conosci i principi di equivalenza delle equazioni. Il primo principio di equivalenza delle equazioni dice che se sommi o sottrai (cioè aggiungi o togli) una stessa quantità a sinistra e a destra dell’uguale non cambia nulla. La soluzione dell’equazione è la stessa. Serve a semplificare i conti. Ad esempio se abbiamo l’equazione £$x-3 = 2$£ possiamo sommare £$+3$£ a sinistra e a destra per il primo principio di equivalenza. Così abbiamo £$x-3+3=2+3$£ che diventa £$x=5$£ e abbiamo risolto così l’equazione. Il secondo principio di equivalenza delle equazioni dice che possiamo moltiplicare o dividere entrambi i membri delle’equazione per una quantità diversa da zero e la soluzione non cambia.
Ecco un esempio svolto: partiamo dall’equazione £$3x = 1$£. Possiamo dividere per £$3$£ a sinistra e a destra per il secondo principio di equivalenza e abbiamo £$x=\frac{1}{3}$£. Abbiamo così risolto l’equazione. Trovi altri esercizi svolti nei video. Allenati poi con gli esercizi spiegati sulle equazioni e la risoluzione delle equazioni per non avere dubbi.

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Prerequisiti per imparare i principi di equivalenza delle equazioni

I prerequisiti per imparare i principi di equivalenza delle equazioni sono:

Risoluzione algebrica e concetto di principio di equivalenza

Per risolvere un'equazione di primo grado devi trovare il valore dell’incognita per cui quello che sta a sinistra dell’uguale, cioè al primo membro, è identico a quello che sta a destra, cioè al secondo membro. Per trovare la soluzione dovrai fare alcune operazioni senza cambiare l’equilibrio dell’equazione, trasformandola ogni volta in un'equazione equivalente, cioè con le stesse soluzioni, fino a che non arrivi alla forma £$x=$£ un numero o un numero £$= x$£, che è la soluzione.
Quando fai delle operazioni ad entrambi i membri, trasformando l’equazione in una equivalente, stai applicando i principi di equivalenza.
Il primo principio di equivalenza delle equazioni dice che puoi sommare o sottrarre una stessa quantità ad entrambi i membri di un’equazione senza cambiare l’equilibrio, cioè ottenendo un’equazione equivalente.

Il secondo principio di equivalenza, invece, dice che puoi moltiplicare o dividere per una stessa quantità tutto il primo membro e tutto il secondo membro senza modificare l’equilibrio della nostra equazione, e quindi ottenendone una equivalente.
Quindi, per risolvere un’equazione lineare dovrai applicare consecutivamente il primo ed il secondo principio di equivalenza fino a che non trovi la soluzione.

Primo principio di equivalenza

Il primo principio di equivalenza delle equazioni dice che puoi trasformare l'equazione in una equivalente aggiungendo o sottraendo a entrambi i membri una stessa quantità, cioè uno stesso numero o una stessa espressione.
Perché applicare il primo principio di equivalenza? Sai che vuoi avere un’equazione della forma £$ x= $£ un numero o un numero £$= x$£, e con questo obiettivo vuoi avere tutte le £$x$£ da una parte dell’uguale e tutti i coefficienti dall’altra. Per farlo cerca di eliminare dei termini in un membro sommandoli per il loro opposto. Fare questa operazione ogni volta renderebbe lunga e caotica la risoluzione delle equazioni lineari, ecco perché, nella pratica, si utilizzano le conseguenze del 1° principio di equivalenza.
Quello che fai, sommando e sottraendo la stessa quantità a destra e sinistra dell’uguale è:

  • trasportare da un membro all’altro cambiando di segno: otterrai un’equazione equivalente se trasporti un termine da un membro all'altro (cioè da destra a sinistra dell'uguale o viceversa), cambiandolo di segno;
  • cancellare quantità uguali ad entrambi i membri: otterrai un’equazione equivalente se cancelli i termini uguali a destra e sinistra dell’uguale.
Questa è l’applicazione del primo principio di equivalenza delle equazioni.

Secondo principio di equivalenza

Il secondo principio di equivalenza delle equazioni dice che puoi trasformare un'equazione in una equivalente moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso numero, o una stessa espressione, purché siano diversi da zero (altrimenti si modifica il risultato dell’equazione).
Come per il primo principio, anche il secondo principio di equivalenza si usa con l’obiettivo di arrivare ad un’equazione della forma £$x=$£ un numero, o un numero £$ =x$£. Puoi osservare che il secondo principio di equivalenza ha delle conseguenze, cioè ti permette di:

  • cambiare segno a tutti i termini dell’equazione: otterrai un’equazione equivalente se cambi segno a tutti i termini di un'equazione perché equivale a moltiplicare entrambi i membri per £$−1$£
  • moltiplicare o dividere per un fattore comune ( £$\ne 0$£ ) tutti i termini: otterrai un’equazione equivalente se dividi tutti i termini di un'equazione per un fattore comune a tutti i termini.
Nei video, vedrai due esercizi svolti sull'uso del secondo principio di equivalenza delle equazioni.

Come risolvere un'equazione con il metodo grafico

Hai visto che le equazioni sono come una bilancia in cui i due membri sono i due piatti e l’ago della bilancia è l’uguale. Per tenere l’equilibrio, quindi, ogni volta che fai qualcosa al primo membro, devi fare la stessa anche al secondo membro, e questi non sono altro che i principi di equivalenza, Ma ci sono altri metodi per capire meglio e per risolvere le equazioni lineari? Sì! Si possono fare dei grafici o usare degli strumenti, come i regoli. Guarda il video per capire meglio come funziona!

Equazioni lineari: esercizi svolti

Ma a cosa servono le equazioni di primo grado? Nella vita di tutti i giorni ti capita spesso di risolvere delle equazioni lineari senza nemmeno rendertene conto. Nei video troverai esempi ed esercizi svolti sulle equazioni lineari. Imparerai a riconoscere i problemi risolubili con equazioni lineari e a impostare e risolvere problemi con le equazioni lineari.

Equazioni lineari: esercizio svolto "difficile"

Un esercizio svolto di equazioni lineare “difficile”. In questo video vedrai tutti i passaggi utili per risolvere correttamente un esercizio sulle equazioni lineari!

Esercizi svolti Risoluzione e principi di equivalenza

Ecco gli esercizi su Risoluzione e principi di equivalenza in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Equazioni lineari. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Aritmetica e Algebra

Esercizi Risoluzione e principi di equivalenza - 1

Scopri i principi di equivalenza delle equazioni e trova quando non vengono usati correttamente. Trova le equazioni equivalenti a quella data con gli esercizi svolti del livello 1.

Esercizi Risoluzione e principi di equivalenza - 2

Risolvi le prime equazioni con iprincipi di equivalenza delle equazioni. Ricorda di usarli in maniera corretta! Se hai dubbi, leggi la spiegazione degli esercizi e ripassa!

Esercizi Risoluzione e principi di equivalenza - 3

Risolvere le equazioni lineari non sarà più un problema matematico. Usa i principi di equivalenza delle equazioni e trova il valore dell’incognita con i nostri esercizi svolti e spiegati!

#ScuolaACasa - la scuola è chiusa? Studia da casa!
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