Prerequisiti per imparare le relazioni fra soluzioni e coefficienti di un'equazione di secondo grado
I prerequisiti per imparare le relazioni fra soluzioni e coefficienti di un'equazione di secondo grado sono:
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Relazioni fra soluzioni e coefficienti di un'equazione di secondo grado
Esistono due relazioni che legano i coefficienti £$a, b, c$£ di un’equazione di secondo grado con le sue soluzioni! E come si scompone il trinomio di secondo grado £$ax^2+bx+c$£? Tutto questo ti servirà per risolvere le equazioni di secondo grado parametriche! Scopri tutto guardando i video e facendo i livelli di esercizi!
Appunti
£$x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1x_2=\frac{c}{a}$£ ecco le relazioni che legano le soluzioni e i coefficienti di un’equazione di secondo grado!
Grazie a queste relazioni puoi scomporre il trinomio di secondo grado £$ax^2+bx+c$£ riscrivendolo come £$a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2]$£ e quindi £$a(x-x_1)(x-x_2)$£, dove £$x_1$£ e £$x_2$£ sono le soluzioni dell’equazione di secondo grado £$ax^2+bx+c=0$£.
Contenuti di questa lezione su: Relazioni fra soluzioni e coefficienti di un'equazione di secondo grado
Trovare due numeri sapendo somma e prodotto
Se ti chiedessero di trovare due numeri la cui somma è £$\frac{3}{2}$£ e il prodotto è £$\frac{1}{2}$£, cosa faresti? Risolveresti sicuramente un sistema. In realtà puoi risolvere direttamente l’equazione di secondo grado £$x^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=0$£!
I due numeri che cerchi sono le soluzioni di questa equazione! Questo perché puoi sempre vedere un’equazione di secondo grado £$ax^2+bx+c=0$£ come £$x^2-sx+p=0$£ dove £$s$£ è la somma delle soluzioni e £$p$£ il prodotto delle soluzioni!
Relazione tra soluzioni e coefficienti
Somma delle soluzioni
Prodotto delle soluzioni
Quale relazione lega i coefficienti di un’equazione di secondo grado alle sue soluzioni (dette anche radici) £$x_1$£ e £$x_2$£?
Abbiamo visto come calcolare le soluzioni di un'equazione di secondo grado con la formula £$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$£
Ma quali informazioni ci danno i coefficienti dell'equazione? Facendo i conti, dimostriamo che la somma delle soluzioni £$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$£ e che il prodotto delle soluzioni è £$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$£
Trovare le soluzioni scomponendo il trinomio
Esercizio svolto 1
Esercizio svolto 2
Dimostrazione della formula
Come trovare le soluzioni di un'equazione di secondo grado senza usare la formula risolutiva? Partiamo dall'’equazione di secondo grado £$ax^2+bx+c=0$£. Proviamo a scomporre il trinomio £$ax^2+bx+c$£ nel prodotto di due binomi. Possiamo farlo se il discriminante dell'equazione di secondo grado è maggiore di zero cioè se l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte.
Se le due soluzioni sono £$x_1$£ e £$x_2$£ allora £$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$£
Scopri come trovare le radici di un'equazione di secondo grado scomponendo il trinomio con due esercizi svolti. Trovi anche la dimostrazione del perché questa tecnica funziona!
Come risolvere un'equazione di secondo grado con delta uguale a 0
Esercizio svolto
Dimostrazione caso delta uguale a 0
Cosa succede se il delta è uguale a zero? Se il discriminante dell’equazione di secondo grado £$ax^2+bx+c=0$£ è uguale a zero, cioè se l’equazione ha due soluzioni reali e coincidenti, allora abbiamo £$x_{1}=x_{2}$£. Quindi il trinomio £$ax^2+bx+c$£ può essere scomposto così £$ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2$£ dove £$x_1$£ è la soluzione, o radice, dell'equazione di secondo grado. Per trovarla, basta quindi riconoscere il quadrato del binomio e il gioco è fatto!
Equazioni di secondo grado con delta minore di 0
Ultimo caso: cosa succede se il discriminante dell’equazione di secondo grado £$ax^2+bx+c=0$£ è minore di zero? L'equazione è impossibile, cioè l’equazione non ammette soluzioni reali.
Cosa vuol dire? Il trinomio di secondo grado £$ax^2+bx+c$£ NON può essere scomposto in alcun modo in £$\mathbb{R}$£ per il teorema di Ruffini. Un trinomio di secondo grado che non può essere scomposto in due polinomi di primo grado è irriducibile.
