Introduzione ai sistemi lineari

Qual è il significato geometrico dei sistemi lineari? Cosa rappresenta la soluzione di un sistema lineare? Prima di imparare a risolvere i sistemi lineari è importante capire perché li studiamo. Qui trovi tutte le risposte!

Come trovare le soluzioni di un’equazione di primo grado con due incognite £$x$£ e £$y$£? Basta sostituire dei valori alle incognite e se risulta un’identità allora hai trovato la soluzione.
Ma cosa rappresenta un’equazione lineare in due incognite? Una retta nel piano cartesiano. E se prendi due rette, quindi due equazioni lineari, possono incontrarsi in un punto, oppure in nessuno, se sono parallele.
I sistemi di equazioni lineari servono a trovare le coordinate del punto di intersezione (se c’è). In altre parole vogliamo trovare i valori delle variabili che rendono contemporaneamente le equazioni delle identità.

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Prerequisiti per imparare i sistemi lineari

I prerequisiti per imparare i sistemi lineari sono:

Grado di un sistema

Come per le equazioni, anche i sistemi di equazioni hanno un grado. Ma come si calcola? È molto facile! Basta guardare il grado delle equazioni del sistema:
"il grado del sistema è uguale al prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono".

Facciamo un esempio: il sistema £$\begin{cases} x+4y = 2 \\ 3x -y = 0 \end{cases}$£ ha grado £$1$£ perché entrambe le equazioni hanno grado £$1$£ e £$1\cdot 1=1$£

Invece, il grado del sistema £$\begin{cases} 2x^4+4y^3 = 2 \\ 3x^3 -y = 0 \end{cases}$£ è uguale a £$4\cdot 3 = 12$£

A cosa serve un sistema

Un sistema è un insieme di un certo numero di equazioni che hanno una o più incognite. La soluzione del sistema quindi è il valore di ciascuna incognita che rende vere contemporaneamente tutte le equazioni del sistema.

Ma a cosa servono? I sistemi servono a trovare le soluzioni (quindi i valori delle incognite) comuni delle equazioni che lo compongono.

La cosa difficile non è risolvere un sistema, ma modellizzare una situazione reale utilizzando un sistema. Qui trovi un esempio che ti aiuta a capire come impostare un sistema per risolvere una situazione reale.

Equazioni lineari in 2 incognite

Sai come risolvere le equazioni di primo grado con un’incognita (di solito è £$x$£). Ma cosa succede se ci sono due incognite? Cosa rappresenta l’equazione £$y-x=0$£? Ricorda che le incognite sono numeri quindi puoi, per esempio, portare la £$x$£ dall’altra parte:

£$y-x=0 \to y=x$£

Cosa rappresenta l’equazione £$y=x$£? E’ una retta! Ma questo vale per tutte le equazioni che hanno due incognite con esponente £$1$£

Quali sono le soluzioni? Tutti i punti della retta! Infatti se diamo un valore qualunque alla £$x$£ e lo sostituiamo nell’equazione della retta troviamo £$y$£

Ma quante sono? Una per ogni punto della retta, che sono infiniti! Quindi un’equazione con due incognite di grado £$1$£ ha sempre infinite soluzioni.

Ma queste equazioni sono rette, quindi sono chiamate equazioni lineari.

Metodo grafico

Le equazioni con due incognite, entrambe di grado al massimo £$1$£, sono delle rette nel piano cartesiano. Ma i sistemi servono a trovare le soluzioni comuni alle equazioni che lo compongono. Quindi, cosa rappresentano i valori di £$x$£ e £$y$£ trovati? Nel piano cartesiano, £$x$£ e £$y$£ sono le coordinate di un punto e questo punto sta su tutte e due le rette del sistema. Quindi la soluzione di un sistema lineare è il punto di intersezione tra le due rette!

Ma se le rette sono parallele? Non abbiamo nessun punto in comune, quindi il sistema non ha soluzioni (diciamo che è impossibile). Se invece le rette sono una sopra l’altra, cioè se coincidono, avranno tutti i punti in comune. Quindi infinite soluzioni (in questo caso, diciamo che il sistema è indeterminato).

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