Goniometria: misura degli angoli in gradi e radianti

Scopri la goniometria, cioè la misura degli angoli . Possiamo misurarli in gradi e in radianti . Ti servirà per la trigonometria che è lo studio dei triangoli a partire dagli angoli.

Definizione di angolo, di gradi e radianti. In questa lezione ripassiamo le caratteristiche degli angoli, che sono le basi della goniometria e della trigonometria. Cosa è un angolo retto, giro, piatto. Come si misura un angolo in gradi, primi e secondi. Come si passa da gradi a radianti e viceversa.

In questa lezione imparerai:

  • Angoli e goniometria: cosa è un angolo, cosa è un angolo giro e un angolo retto, cosa è un angolo acuto o ottuso
  • Misura in gradi: come misurare un angolo in gradi
  • Misura in radianti: cosa sono i radianti, come misurare un angolo in radianti, come passare da gradi a radianti e viceversa
  • Angoli orientati: quando un angolo è positivo e quando un angolo è negativo.

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Angoli e goniometria

Un angolo è la parte di piano compresa tra due semirette (lati), aventi la stessa origine (vertice).

Quando le due semirette coincidono, l'angolo è:

  • nullo: se non è formato da alcun punto del piano
  • giro: se è formato da tutti i punti del piano.

Quando le semirette sono:

  • adiacenti: l'angolo è piatto
  • perpendicolari: l'angolo è retto

Un angolo:

  • acuto è < di un angolo retto
  • ottuso è > di un angolo retto ma < di un angolo piatto

Angoli: misura in gradi

Per misurare un angolo, cioè calcolare la sua ampiezza, possiamo usare diverse unità di misura.

La misura più conosciuta è il grado sessagesimale, cioè la 360-esima parte dell’angolo giro. Suddividendo un angolo giro in 360 parti uguali, ognuna di queste misura esattamente 1 grado, e lo indichiamo con il simbolo 1°.

In gradi, gli angoli misurano:

  • angolo nullo 0° (zero gradi)
  • angolo giro 360° (360 gradi)
  • angolo piatto 180° (180 gradi)
  • angolo retto 90° (90 gradi)

Oltre al grado, esistono i suoi sottomultipli: i primi ed i secondi.

  • 1 grado è diviso in 60 primi (‘)
  • 1 primo è diviso in 60 secondi (‘‘).

Quando misuriamo gli angoli con i gradi, utilizziamo un sistema di numerazione in base 60 (cioè un sistema di 60 cifre), proprio come per l’orologio con i minuti e i secondi!

Quindi per sommare le misure degli angoli, dobbiamo fare attenzione:

  • dobbiamo partire dai secondi, poi i primi, infine i gradi
  • il valore massimo dei primi e dei secondi è 59. Dopo dobbiamo fare il riporto!

Angoli: misura in radianti

Un’altra unità di misura usata per gli angoli è il radiante.
Il radiante ci permette di trasformare l’ampiezza degli angoli dalla base 60 alla base 10.

Immaginiamo che l'angolo £$\alpha $£ che vogliamo misurare sia l'angolo al centro di una circonferenza. Quindi individua un arco di circonferenza di lunghezza £$l$£.

La misura in radianti di un angolo £$\alpha$£ è il rapporto tra l’arco di circonferenza £$ l $£ corrispondente all’angolo e il raggio £$r$£ della circonferenza:

£$ \alpha=\frac{misura \ dell'arco}{raggio}=\frac{l}{r}$£

Come passare da gradi a radianti? Basta fare una proporzione:

£$\alpha ^\circ: 360^\circ=\alpha_{rad}:2\pi$£

Quindi: £$\alpha_{rad}=\frac{\alpha^\circ}{180^\circ}\pi$£ e £$\alpha^\circ=\frac{180^\circ\alpha_{rad}}{\pi}$£

Angoli orientati

L'angolo orientato è un angolo che è misurato tenendo conto della rotazione. Se teniamo fisso uno dei lati e ruotiamo l'altro lato attorno al vertice, allora diciamo che l'angolo è

  • positivo se il verso di rotazione è antiorario
  • negativo se il verso di rotazione è orario.

Esercizi e un po' di storia

Conosci la storia della misurazione degli angoli? CHi furono i primi a usare il sistema sessagesimale per la misura degli angoli? E perché?
Qui puoi scoprire tutto (o quasi) sulla storia della misurazione degli angoli.

Puoi anche allenarti con alcuni esercizi per prepararti all'interrogazione!

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