Disequazioni goniometriche elementari

Impara cosa sono le disequazioni goniometriche e come risolvere le disequazioni goniometriche elementari e le disequazioni riconducibili a disequazioni goniometriche elementari.

Nello studio della goniometria, dopo aver imparato a risolvere le equazioni goniometriche, sarà importante riconoscere e risolvere le disequazioni goniometriche. Sia le equazioni che le disequazioni goniometriche saranno utili per risolvere i problemi di trigonometria e, più avanti altri problemi, come quelli di massimo e minimo.
Per risolvere le disequazioni goniometriche devi saper risolvere le equazioni goniometriche associate, che sono quelle che trovi sostituendo il simbolo di disuguaglianza con quello di uguaglianza. In questo modo individui le soluzioni da mettere in un grafico. Leggi il grafico e trova l'intervallo delle soluzioni della disequazione goniometrica di partenza.
Per risolvere le disequazioni goniometriche i grafici che puoi fare sono due, uno sfrutta la circonferenza goniometrica e l'altro i grafici delle funzioni goniometriche.

Studiamo le disequazioni goniometriche elementari a partire dai casi immediati per poi studiare i casi più strani e difficili tramite degli esercizi svolti.

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Prerequisiti per imparare le disequazioni goniometriche elementari

I prerequisiti per imparare le disequazioni goniometriche elementari sono:

Cosa sono le disequazioni goniometriche

Una disequazione è goniometrica quando l'incognita è l'argomento di una funzione goniometrica.
Per risolvere una disequazione goniometrica:

  1. risolviamo l'equazione goniometrica associata.
  2. Individuiamo l'intervallo delle soluzioni con un grafico. I grafici che possiamo utilizzare sono:
    • la circonferenza goniometrica: troviamo sulla circonferenza goniometrica i punti corrispondenti alla soluzione dell'equazione goniometrica associata. La soluzione della disequazione è uno degli archi di circonferenza compreso tra i punti trovati.
    • Il grafico della funzione goniometrica: confrontiamo le funzioni ai due membri della disequazione e vediamo per quali valori una sta "sopra" (è maggiore) o "sotto" (è minore) l'altra (esattamente come facevamo per la risoluzione delle disequazioni con il metodo grafico).

Disequazioni goniometriche elementari

Le disequazioni goniometriche elementari sono del tipo £$sen \ x > a$£, £$cos \ x > b$£, £$tg \ x > c$£ o £$cotg \ x > d$£, o equivalentemente puoi trovarle con i segni di £$ < $£, £$ \ge $£ e £$\le$£.

Le funzioni seno e coseno hanno come codominio l'intervallo £$[-1,1]$£, quindi alcune disequazioni sono immediate:

  • se £$a>1$£ o £$ b >1 $£ abbiamo che:
    • £$sen \ x > a$£ e £$ cos \ x >b $£ sono disequazioni impossibili;
    • £$ sen \ x <a $£ e £$ cos \ x < b$£ sono sempre verificate.
  • se £$a <-1$£ o £$ b < -1 $£:
    • £$sen \ x > a$£ e £$ cos \ x >b $£ sono disequazioni sempre verificate;
    • £$ sen \ x <a $£ e £$ cos \ x < b$£ sono impossibili.

Il codominio della tangente e della cotangente sono tutti i numeri reali, quindi non ci sono limitazioni particolari per le disequazioni goniometriche elementari in tangente e cotangente.

Risolvi le disequazioni goniometriche elementari con i due metodi grafici della circonferenza goniometrica o della funzione.

Disequazioni goniometriche riconducibili a disequazioni goniometriche elementari

La soluzione delle disequazioni goniometriche riconducibili ad elementari è uguale a quella delle disequazioni elementari. Risolvi l'equazione associata e poi riporta le soluzioni nel grafico da analizzare!

Esercizi sulle disequazioni goniometriche

Ecco alcuni esercizi sulle disequazioni goniometriche. Prova a risolverle, magari sono le stesse che ti chiederà il prof durante l'interrogazione!

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