Equazioni goniometriche elementari

Impara cosa sono le equazioni goniometriche. Poi impariamo a risolvere quelle elementari, ossia quelle in cui compare una funzione goniometrica semplice ed una costante.

Un'equazione goniometrica è un'uguaglianza dove l'incognita è l'argomento di una funzione goniometrica.

Le funzioni goniometriche hanno una periodicità:

  • il seno ed il coseno sono periodici di £$2 \pi$£, quindi ogni £$2 k \pi$£, con £$k \in \mathbb{N}$£ troverai gli stessi angoli e quindi le stesse soluzioni della tua equazione;
  • la tangente e la cotangente sono periodiche di £$\pi$£, quindi ogni £$k \pi$£ con £$k$£ numero naturale, ritrovi gli stessi angoli, e quindi anche le stesse soluzioni dell'equazione.

Infine è importante ricordare i codomini ed i punti critici delle funzioni goniometriche.
Il seno ed il coseno hanno come codominio l'intervallo £$[-1,1]$£ cioè assumono valori solo in questo intervallo. Le equazioni £$sen \, x=-3$£ o £$cos \, x=5$£ sono quindi impossibili.
La tangente e la cotangente non sono definite per alcuni valori: non esiste la tangente di 90° e nemmeno la cotangente di 180°, quindi per questi valori l'equazione risulterà impossibile.

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Prerequisiti per imparare le equazioni goniometriche elementari

I prerequisiti per imparare le equazioni goniometriche elementari sono:

Cosa sono le equazioni goniometriche

Le equazioni goniometriche elementari sono quelle della forma £$ sen \ x = a $£, £$cos \ x= b$£, £$ tg \ x=c$£ o £$cotg \ x=d$£ con £$a$£, £$b$£, £$c$£ e £$d$£ numeri reali.

Per risolvere le equazioni goniometriche elementari devi ricordare i valori che assumono le funzioni goniometriche negli angoli conosciuti, se non sono quelli che appaiono nella tua equazione devi ricorrere alla funzione inversa.

Equazioni goniometriche elementari

Puoi risolvere le equazioni goniometriche elementari aiutandoti con la circonferenza goniometrica:

  • se devi trovare quali angoli hanno il seno uguale ad £$a$£, basta disegnare la retta £$y=a$£, l'intersezione di questa retta con la circonferenza goniometrica individua le soluzioni dell'equazione;
  • per trovare gli angoli che hanno coseno uguale a £$b$£ fai come per il seno, ma disegna la retta parallela all'asse £$y$£ di equazione £$x=b$£.

Equazioni in tangente e cotangente

    Per risolvere le equazioni goniometriche in tangente o cotangente, devi ricordarti i valori di queste due funzioni negli angoli principali oppure come usare le funzioni inverse:

  • se hai un'equazione del tipo £$tg \ x = c$£ disegna la retta £$x=1$£ tangente alla circonferenza goniometrica e individua su di essa il punto £$P(1;c)$£. La retta che unisce £$P$£ con il centro della circonferenza individua anche gli angoli soluzione della tua equazione;
  • per risolvere un'equazione elementare in cotangente (come £$cotg \ x= d$£) fai come per la tangente ma disegna la retta £$y=1$£ tangente alla circonferenza goniometrica e individua il punto £$Q(d; 1)$£. La retta che unisce £$Q$£ con il centro della circonferenza individua anche gli angoli soluzione della tua equazione.

Esercizi sulle equazioni goniometriche elementari

Eccoti giunto ai primi esercizi sulle equazioni goniometriche elementari.

Se hai dei dubbi, puoi sempre riguardare la lezione e allenarti con gli esercizi spiegati!

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