Funzioni seno e coseno

Seno e coseno possono essere visti come l'ordinata e l'ascissa di un punto sulla circonferenza goniometrica. Questo punto è univocamente determinato dato l'angolo, ciò significa che posso definire seno e coseno come funzioni dell'angolo.

• Il dominio delle funzioni seno e coseno è l'insieme dei reali £$\mathbb{R}$£ perché per ogni valore £$x$£ dell'angolo possiamo trovare un punto corrispondente sulla circonferenza goniometrica.

• Il codominio delle funzioni seno e coseno è l'intervallo £$[-1,1]$£. Il punto appartiene alla circonferenza centrata nell'origine e di raggio 1, quindi avrà coordinate comprese fra £$-1$£ e £$1$£.

Le proprietà fondamentali delle funzioni seno e coseno sono:

• La periodicità. Seno e coseno sono periodici di £$2\pi$£ cioè assumono gli stessi valori sottraendo o sommando multipli di £$2\pi$£ all'angolo £$x$£:
  • £$sen(x+2k\pi)=sen \ x$£ con £$k \in \mathbb{Z}$£
  • £$cos(x+2k\pi)=cos \ x$£ con £$k \in \mathbb{Z}$£
  La periodicità è utile perché basta studiare la funzione fra £$[0, 2\pi]$£ e poi riportarla uguale in tutti gli altri intervalli reali.
• Simmetria. Analizzando due punti simmetrici rispetto all'asse £$x$£ (o all'asse £$y$£) sulla circonferenza goniometrica si trova che:
  
  • il coseno è una funzione pari £$cos(-x)=cos \ x $£
  • il seno è una funzione dispari £$sen(-x)=-sen \ x$£
• Segno e monotonia. Studiamo quando le funzioni seno e coseno sono positive, negative, nulle, crescenti o decrescenti.
  • La funzione £$ y=sen \ x$£ è:
    • positiva in £$\left( 0, \pi \right)$£
    • negativa in £$\left( \pi, 2\pi\right)$£
    • nulla in £$x=0, \pi$£
    • crescente in £$\left[0, \frac{\pi}{2} \right] \cup \left[\frac{3}{2}\pi, 2\pi \right]$£
    • decrescente in £$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi \right]$£
  • La funzione £$ y=cos \ x$£ è:
    • positiva in £$\left[ 0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left( \frac{3}{2}\pi, 2\pi \right]$£
    • negativa in £$\left( \frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi\right)$£
    • nulla in £$x=\frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi$£
    • crescente in £$[\pi, 2\pi]$£
    • decrescente in £$[0, \pi]$£

Con le informazioni viste finora sulle funzioni seno e coseno, sei in grado di disegnare il grafico di queste due funzioni:

• sinusoide: è il grafico della funzione seno;
• cosinusoide: è il grafico della funzione coseno.