Funzioni tangente e cotangente

Anche la tangente e la cotangente, come seno e coseno, possono essere viste univocamente in funzione di un angolo £$\alpha$£.

La tangente ha dominio l'insieme dei reali meno £$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$£ con £$k $£ intero: £$\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi, \ con \ k \ \in \mathbb{Z} \right\}$£

La cotangente ha dominio l'insieme dei reali meno £$x=k\pi$£ con £$k $£ intero: £$\mathbb{R} \setminus \left\{k\pi, \ con \ k \ \in \mathbb{Z} \right\}$£.

Il codominio della tangente e della cotangente è invece tutto l'insieme £$\mathbb{R}$£ dei reali, perché possono assumere qualsiasi valore nei reali. Sono quindi funzioni suriettive.

Studiamo alcune proprietà delle funzioni tangente e cotangente che ci permettono di studiare più facilmente le due funzioni.

• Periodicità. La tangente e la cotangente sono periodiche di 180°, cioè di £$\pi$£, quindi possiamo studiarle solo nell'intervallo £$(0, \pi)$£ e riportarle poi uguali negli altri intervalli:
  
  • £$tg(x +k\pi) = tg \ x $£, £$x \ne \frac{\pi}{2}+k\pi$£ con £$k$£ intero;
  • £$cotg(x +k\pi) = cotg \ x$£, £$x \ne k\pi$£ con £$k$£ intero.
• Simmetria. La tangente e la cotangente sono simmetriche rispetto all'origine, possiamo quindi studiarle in un intervallo e poi fare la simmetria rispetto all'origine. Inoltre sfruttando la seconda relazione fondamentale della trigonometria e le proprietà di simmetria di seno e coseno puoi concludere che:
  • la tangente è una funzione dispari: £$tg(-x)=-tg \ x $£;
  • la cotangente è una funzione dispari: £$cotg(-x)=-cotg \ x $£.

• Segno e monotonia. Studiamo il segno e la monotonia delle funzioni tangente e cotangente nell'intervallo £$(0,2\pi)$£.
  • La funzione tangente £$ y=tg \ x \ $£ è:
    • positiva in £$\left(0,\frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \pi, \frac{3}{2}\pi \right)$£
    • negativa in £$\left(\frac{\pi}{2}, \pi \right) \cup \left( \frac{3}{2}\pi,2\pi \right)$£
    • nulla in £$x=0, \pi$£
    • sempre monotona crescente, cioè è crescente in tutto l'intervallo £$\left[0,2\pi \right] \setminus \left\{\frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi \right\}$£
  • La funzione cotangente £$ y=cotg \ x $£ è:
    • positiva in £$\left(0,\frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \pi, \frac{3}{2}\pi \right)$£
    • negativa in £$\left(\frac{\pi}{2}, \pi \right) \cup \left( \frac{3}{2}\pi,2\pi \right)$£
    • nulla in £$x=\frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi $£
    • sempre monotona decrescente, cioè decrescente in tutto l'intervallo £$\left[0,2\pi \right] \setminus \left\{0, \pi \right\}$£

Vediamo ora i due grafici della tangente e della cotangente. Notiamo che:

• per la tangente le rette £$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$£ con £$k$£ intero, sono asintoti;
• per la cotangente le rette £$x=k\pi$£ con £$k$£ intero, sono asintoti.

I grafici delle funzioni tangente e cotangente si chiamano rispettivamente tangentoide e cotangentoide.