Equazioni goniometriche lineari e metodi di risoluzione

Impara cosa sono le equazioni goniometriche lineari e quanti e quali metodi di risoluzione conviene applicare.

In goniometria, dopo le equazioni goniometriche elementari, che sono le più semplici, ci sono quelle lineari, e poi quelle omogenee.
Le equazioni goniometriche lineari sono combinazioni lineari delle funzioni seno e coseno uguagliate a zero, e si chiamano lineari perché, sfruttando la prima relazione fondamentale della gonometria, possiamo associarle un'equazione lineare, cioè l'equazione di una retta.

La soluzione delle equazioni goniometriche lineari si trova o con il metodo grafico o con metodi algebrici. Con il metodo grafico la soluzione si trova tramite i punti di intersezione fra la circonferenza goniometrica e la retta associata all'equazione.
I metodi algebrici da usare dipendono dai valori assunti dai coefficienti dell'equazione e sfruttano le formule di tangente e cotangente riconducendosi a equazioni goniometriche elementari, le formule parametriche razionali oppure il metodo dell'angolo aggiunto.

Gli esercizi svolti ti aiuteranno a capire meglio come e quando usare il metodo grafico o quello algebrico per risolvere le equazioni goniometriche lineari.

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Prerequisiti per imparare le equazioni goniometriche lineari e i metodi di risoluzione

I prerequisiti per imparare le equazioni goniometriche lineari e i metodi di risoluzione sono:

Cosa sono le equazioni goniometriche lineari

Le equazioni goniometriche lineari sono quelle del tipo £$a \ sen \ x +b \ cos \ x + c=0$£, con £$a$£, £$b$£ e £$c$£ numeri naturali che non si annullano contemporaneamente.

Se £$a=0 \wedge b \ne 0$£, o viceversa, l'equazione è elementare. Se £$a \ne 0 \wedge b\ne0 \wedge c\ne0$£, l'equazione è completa.

Per risolvere un'equazione goniometrica lineare possiamo applicare due metodi:

  • Metodo grafico: disegniamo la circonferenza goniometrica e la retta associata all'equazione lineare, le soluzioni dell'equazione sono i punti di intersezione fra la retta e la circonferenza;
  • Metodo algebrico: dividendo per delle funzioni goniometriche o applicando delle formule, quindi facendo dei calcoli algebrici, trasformiamo l'equazione lineare in un'equazione elementare. I metodi algebrici si distinguono a seconda del valore dei coefficienti dell'equazione.

Il metodo grafico

Per usare il metodo grafico dobbiamo associare all'equazione goniometrica lineare l'equazione di una retta nel piano, da poter poi intersecare con la circonferenza goniometrica.
Per poter fare l'intersezione, anche algebricamente, dobbiamo risolvere un sistema. Qual è quindi l'equazione della circonferenza goniometrica, e quale quella della retta?
La circonferenza goniometrica ha equazione £$X^2+Y^2=1$£ perché è centrata nell'origine ed ha raggio £$1$£, questa equazione, sostituendo £$X=cos \ x $£ e £$ Y=sen \ y$£, diventa la prima relazione fondamentale della goniometria. Quindi tenendo queste sostituzioni, possiamo trovare anche la retta associata all'equazione goniometrica lineare, che è £$a Y + b X+c=0$£.

Il sistema lineare £$\begin{cases} asen \ x+b cos \ x + c=0 \\ cos^2 x+sen^2x=1 \end{cases}$£
con le sostituzioni £$X=cos \ x$£ e £$Y= sen \ x$£ diventa: £$\begin{cases} aY+bX+c=0 \\ X^2+Y^2=1 \end{cases}$£.

Questi sistemi, graficamente, rappresentano l'intersezione della retta con la circonferenza goniometrica. I punti di intersezione individuano il seno ed il coseno dell'angolo soluzione dell'equazione lineare.

Metodo algebrico

Metodo algebrico: caso £$c=0$£

Metodo algebrico: caso £$c\ne 0$£

Metodo algebrico: caso £$c=0$£

Se £$c=0$£ e £$a,b \ne 0$£, l'equazione lineare ha la forma £$a \ sen \ x+b \ cos \ x=0$£. Basta dividere per £$sen \ x$£ o per £$cos \ x$£ (quando questi sono diversi da zero) per ottenere una equazione goniometrica elementare in cotangente o tangente rispettivamente.
Dopo aver risolto l'equazione goniometrica elementare dobbiamo controllare che le soluzioni, che annullano il seno o il coseno che avevamo escluso per applicare il metodo algebrico, non risolvano la nostra equazione lineare. Se la risolvono le inseriamo nell'insieme delle soluzioni.

Metodo algebrico caso £$c \ne 0$£

Quando l'equazione lineare è completa, quindi quando tutti i termini dell'equazione lineare sono non nulli, puoi trasformare l'equazione lineare in un'equazione polinomiale che a sua volta è riconducibile ad un'equazione goniometrica elementare, sfruttando le formule parametriche: £$sen \ x = \frac{2t}{1+t^2}$£ e £$cos \ x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$£ con £$t=tg \frac{x}{2}$£

Fai attenzione perché questa sostituzione è valida solo quando £$ \frac{x}{2}$£ esiste, cioè quando è diverso da multipli di 90°. Controlla sempre che il valore che annulla la tangente di £$\frac{x}{2}$£ non verifichi l'equazione di partenza, se la dovesse verificare aggiungila all'insieme delle soluzioni!

Metodo dell'angolo aggiunto

Anche il metodo dell'angolo aggiunto si può usare per tutte le equazioni lineari. Consiste nel ricondurre l'equazione ad una elementare in £$sen \ x$£ o £$cos \ x$£ sfruttando le formule dell'angolo aggiunto.

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