Equazioni goniometriche omogenee e metodi di risoluzione

Impara cosa sono le equazioni goniometriche omogenee, quali equazioni goniometriche omogenee si possono ricondurre a equazioni lineari ed elementari. Scopri quali sono i metodi di risoluzione algebrici e grafici e quale è meglio utilizzare.

Le equazioni goniometriche omogenee sono equazioni i cui termini, formati dalle funzioni goniometriche, appaiono tutti allo stesso grado e nella stessa incognita.
Le equazioni goniometriche omogenee di primo e secondo grado si risolvono riconducendole a equazioni elementari o lineari con il metodo algebrico e quello grafico.
Il metodo algebrico consiste nel raccogliere opportunamente o dividere tutta l'equazione per il seno o il coseno dell'angolo dato.
Usare il metodo grafico invece significa associare un'equazione lineare a quella omogenea sfruttando le formule di duplicazione del seno e del coseno.

Segui gli esercizi svolti e poi guarda il riassunto su come si risolvono tutte le equazioni goniometriche: con un ripasso di tutto sarà più chiaro anche come risolvere le equazioni goniometriche omogenee.

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Prerequisiti per imparare le equazioni goniometriche omogenee e i metodi di risoluzione

Il prerequisito per imparare a risolvere le equazioni goniometriche omogenee e i metodi di risoluzione è:

Cosa sono le equazioni goniometriche omogenee

Equazioni goniometriche omogenee

Ripasso: equazioni goniometriche elementari

Le equazioni goniometriche omogenee in seno e coseno sono quelle in cui tutti i termini sono dello stesso grado.
Le equazioni goniometriche lineari con £$c=0$£ sono delle equazioni goniometriche omogenee di primo grado.

Prima di affrontare la risoluzione delle equazioni goniometriche omogenee, ripassa le lezioni precedenti: qui trovi un riassunto veloce che ti permette di rinfrescare la memoria sui metodi di risoluzione delle equazioni goniometriche elementari.

Equazioni omogenee di II grado: metodo algebrico

Le equazioni goniometriche omogenee di II grado sono della forma £$a \ sen^2x+b \ sen \ x \ cos \ x+c \ cos^2x=0$£. Quando £$a$£, £$b$£ e £$c$£ sono non nulli, l'equazione omogenea è completa.
Per risolvere un'equazione goniometrica omogenea di II grado consideriamo 3 casi:

  1. se £$a=0$£ basta raccogliere a fattor comune £$cos \ x $£ e sfruttare la legge di annullamento del prodotto. Per risolvere l'equazione omogenea si risolverà un'equazione goniometrica elementare ed una lineare.
  2. se £$c=0$£ basta raccogliere a fattor comune £$sen \ x$£ e dovrai risolvere un'equazione goniometrica elementare ed una lineare per trovare la soluzione dell'equazione omogenea di partenza.
  3. £$ a \ne 0 \wedge c \ne 0 $£ possiamo dividere tutti i termini per £$cos \ x$£ o per £$sen \ne 0$£ supponendo che sia diverso da zero e poi controllando che le soluzioni che annullano il coseno o il seno non risolvano l'equazione di partenza. Troviamo così un'equazione goniometrica riconducibile ad elementare in tangente.

Equazioni riconducibili a omogenee di II grado

Le equazioni goniometriche del tipo £$a \ sen^2x+b \ sen \ x \ cos \ x +c \ cos \ x + d= 0$£, non sono omogenee ma sono riconducibili ad equazioni omogenee di secondo grado sfruttando la prima relazione fondamentale della goniometria. Basta moltiplicare il termine noto £$d$£ per £$sen^2x+cos^2x$£ per ottenere un'equazione omogenea che sappiamo risolvere.

Equazioni omogenee di II grado: metodo grafico

l metodo grafico si può applicare dopo aver trasformato l'equazione omogenea di secondo grado in un'equazione lineare in seno e coseno dell'angolo doppio. Per risolvere le equazioni goniometriche omogenee di II grado tramite il metodo grafico applichiamo le formule di duplicazione del seno e del coseno e poi procediamo come per la risoluzione di equazioni lineari con il metodo grafico, questa volta però non sostituiremo £$X=cos \ x$£, ma £$X=cos (2x)$£.

Esercizi sulle equazioni goniometriche omogenee

Ora che hai visto come risolvere le equazioni goniometriche omogenee di II grado, prova a risolvere questi esercizi: così saprai se sei pronto per l'interrogazione o per la verifica.

Se hai dubbi, puoi sempre ripassare la lezione o allenarti con gli esercizi!

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