Trigonometria e risoluzione di un triangolo qualunque

Il teorema dei seni e il teorema del coseno o teorema di Carnot ti permettono di risolvere qualunque triangolo. Ora hai tutti gli strumenti per risolvere tutti i triangoli!

In trigonometria usiamo la goniometria per risolvere triangoli qualunque e poi poter applicare queste conoscenze e capacità alla risoluzione di problemi di trigonometria.

Oltre al teorema della corda ed a quello dell'area, altri due teoremi che possono essere usati per tutti i triangoli, e non solo per i triangoli rettangoli, sono il teorema dei seni ed il teorema del coseno.

Il teorema dei seni ci permette di esprimere rapporti fra i lati di un triangolo qualunque ed il seno degli angoli opposti.

Il teorema del coseno, detto anche teorema di Carnot esprime un lato in relazione agli altri due ed al coseno dell'angolo fra essi compreso.
Il teorema dei seni e del coseno ci permettono di risolvere triangoli qualunque. Conoscendo tre elementi di un triangolo possiamo trovare gli altri 3. Gli elementi che servono per risolvere un triangolo, infatti, sono 6: 3 lati e 3 angoli!

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Prerequisiti per imparare risoluzione di un triangolo qualunque in trigonometria

I prerequisiti per imparare risoluzione di un triangolo qualunque in trigonometria sono:

Formulario

Ecco il formulario per ripassare le formule che hai visto nelle altre lezioni. Ti serviranno per affrontare al meglio questa lezione!

Risoluzione di un triangolo qualunque

Con il teorema dei seni e del coseno puoi risolvere triangoli qualunque, cioè puoi conoscere tutti i suoi elementi a partire da almeno 3 elementi conosciuti.
Per poter risolvere un triangolo con il teorema dei seni e del coseno devi conoscere almeno:

  • un lato e due angoli
  • due lati e l'angolo compreso
  • due lati e un angolo (non compreso tra i lati)
  • i tre lati

Teorema del coseno

Il teorema del coseno, detto anche teorema di Carnot,dice che in ogni triangolo il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati meno il doppio prodotto delle misure di questi due lati per il coseno dell'angolo tra loro compreso.
Se £$a$£, £$b$£ e £$c$£ sono i lati di un triangolo e £$\alpha$£, £$\beta$£ e £$\gamma$£ gli angoli compresi rispettivamente fra £$b$£ e £$c$£, £$c$£ e £$a$£, £$a$£ e £$b$£, le relazioni espresse dal teorema del coseno sono:

  • £$ a^2=b^2+c^2 -2 \ b \ c \ cos \ \alpha $£
  • £$ b^2=a^2+c^2-2 \ a \ c \ cos \ \beta $£
  • £$ c^2=a^2+b^2-2 \ a \ b \ cos \ \gamma $£

La dimostrazione del teorema del coseno si fa tramite la prima relazione fondamentale della goniometria e il teorema di Pitagora.

Teorema dei seni

L'enunciato del teorema dei seni dice che il rapporto tra le misure dei due lati di un triangolo è uguale al rapporto tra i seni degli angoli opposti.
Se £$a$£, £$b$£ e £$c$£ sono i lati di un triangolo e £$\alpha$£, £$\beta$£ e £$\gamma$£ gli angoli compresi fra i lati £$b$£e £$c$£, £$c$£ e £$a$£, £$a$£ e £$b$£ rispettivamente, allora una formulazione del teorema dei seni è: £$ \frac{a}{b}=\frac{ sen \ \alpha}{sen \ \beta}$£ così come £$\frac{b}{c}=\frac{sen \ \beta}{sen \ \gamma}$£ e £$\frac{c}{a}=\frac{sen \ \gamma}{sen \ \alpha}$£

Un'altra formulazione, equivalente, è espressa dalla seguente formula: £$ \frac{a}{sen \ \alpha}=\frac{b}{sen \ \beta}= \frac{c}{sen \ \gamma}$£

Il teorema dei seni si dimostra sfruttando il teorema della corda più volte per tutti gli angoli di un triangolo inscritto.

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