Tangente e cotangente: punto di vista geometrico

Impara cosa sono la tangente e la cotangente di un angolo, studia i loro rapporti con il seno e coseno attraverso la seconda relazione fondamentale della goniometria.

Ti piacerebbe avere una tabella con i valori di tangente e cotangente? Vuoi sapere cosa sono la tangente e la cotangente dal punto di vista geometrico? Come puoi trovare i valori della tangente e della cotangente di un angolo disegnando la circonferenza goniometrica? Qual è la seconda relazione fondamentale della goniometria? Ora che hai imparato ad usare la circonferenza goniometrica vediamo cosa sono la tangente e la cotangente di un angolo come ordinata e ascissa di punti particolari.

In questa lezione imparerai:

  • Tangente di un angolo: quando esiste e cosa è la tangente di un angolo sulla circonferenza goniometrica
  • Seconda relazione fondamentale: qual è la seconda relazione fondamentale della goniometria, come scrivere seno e coseno in funzione della tangente
  • Cotangente di un angolo: quando esiste e cosa è la cotangente di un angolo sulla circonferenza goniometrica
  • Tangente e cotangente di angoli particolari: tabella con i valori della tangente e della cotangente di angoli che devi ricordare

Tangente e cotangente di angoli particolari

Riassumiamo in una tabella i valori della tangente e cotangente che è utile ricordare sempre!

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Prerequisiti per imparare tangente e cotangente

I prerequisiti per imparare cosa siano tangente e cotangente dal punto di vista geomentrico sono:

Cos'è la tangente di un angolo

La tangente di un angolo £$\alpha$£ sulla circonferenza goniometrica è l'ordinata del punto £$T$£ di intersezione fra il secondo lato dell'angolo e la retta £$x=1$£ tangente alla circonferenza goniometrica nel punto £$A(1;0)$£.
La tangente dell'angolo £$\alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi$£ con £$k\in\mathbb{Z}$£ non esiste. Infatti se il secondo lato dell'angolo è parallelo alla retta £$x=1$£, ossia se l'angolo è di £$\frac{\pi}{2}+k\pi$£ con £$k$£ intero, non esiste il punto £$T$£ e quindi non esiste neanche la tangente dell'angolo.

Seconda relazione fondamentale

La seconda relazione fondamentale della goniometria è £$tg \alpha=\frac{sen \ \alpha}{cos \ \alpha}$£.
La dimostrazione è legata al calcolo del coefficiente angolare della retta su cui giace il secondo lato dell'angolo £$\alpha$£.

Quindi la tangente goniometrica dell'angolo £$\alpha$£ è il coefficiente angolare della retta che forma un angolo £$\alpha $£ con l'asse delle £$x$£.

Può essere utile scrivere seno e coseno in funzione della tangente. Per farlo usiamo la prima e la seconda relazione fondamentale della goniometria. Le formule che otteniamo sono:

  • £$cos \ \alpha=\pm \frac{1}{\sqrt{1+tg^2 \alpha}}$£
  • £$sen \ \alpha=\pm \frac{tg \ \alpha}{\sqrt{1+tg^2 \alpha}}$£

Ovviamente la scelta del segno è fatta in base a dove (cioè in quale quadrante) si trova l'angolo £$\alpha$£

Cos'è la cotangente di un angolo

La cotangente di un angolo è l'ascissa del punto £$C$£ di intersezione tra il prolungamento del secondo lato dell'angolo £$\alpha$£ e la retta £$y=1$£ tangente alla circonferenza goniometrica nel punto £$B(0;1)$£.
La cotangente dell'angolo £$\alpha=0+k\pi$£ con £$k \in \mathbb{Z}$£, non esiste. Infatti se il secondo lato dell'angolo è parallelo alla retta £$y=1$£, ossia se l'angolo è di £$k\pi$£ con £$k$£ intero, non esiste il punto £$C$£ e quindi non esiste neanche la cotangente dell'angolo.

Le formule che legano la cotangente dell'angolo al seno e coseno sono:

  • £$sen \ \alpha= \pm \frac{1}{\sqrt{1+cotg^2\alpha}}$£
  • £$cos \ \alpha=\pm \frac{cotg \alpha}{\sqrt{1+cotg^2\alpha}}$£

Tangente e cotangente di angoli noti

Ora che hai visto cosa sono tangente e cotangente goniometriche, guarda i valori che assumono per alcuni angoli, quelli principali.

In molti esercizi di goniometria, vedrai questi angoli, quindi è meglio iniziare a ricordarsi questi valori principali per velocizzare i calcoli!

Un po' di storia + esercizi!

Sai da dove arrivano la tangente e la cotangente in goniometria?

La tangente e la cotangente sono legate alla gnomonica, la scienza degli orologi solari. La tangente è l'ombra che uno gnomone (un'asta infissa perpendicolarmente su un muro verticale) di lunghezza 1 proietta sul muro per una data altezza del sole. La cotangente è l'ombra dello gnomone di lunghezza 1 piantato verticalmente su un piano orizzontale. In entrambi i casi, l'altezza del sole sull'orizzonte può essere calcolata sulla base della misura delle ombre.

Esercizi svolti Tangente e cotangente: punto di vista geometrico

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Esercizi Tangente e cotangente: punto di vista geometrico - 1

Esercizi Tangente e cotangente: punto di vista geometrico - 2

Esercizi Tangente e cotangente: punto di vista geometrico - 3

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