Trasformazioni geometriche di funzioni goniometriche

Scopri come disegnare i grafici delle funzioni goniometriche se applichiamo delle trasformazioni come le traslazioni, le simmetrie e le omotetie.

Le trasformazioni geometriche di funzioni goniometriche sono le traslazioni, le omotetie o le simmetrie applicate a funzioni goniometriche. Come cambia il grafico di una funzione goniometrica a cui è stata applicata una trasformazione geometrica? Vediamo come cambiano le curve ed il periodo!

In questa lezione imparerai:

  • Traslazioni lungo gli assi: come cambia il grafico delle funzioni goniometriche applicando una traslazione
  • Simmetrie, dilatazioni, compressioni: come cambia il grafico delle funzioni goniometriche applicando un'omotetia
  • Periodo delle funzioni goniometriche: quali trasformazioni lasciano invariato il periodo delle funzioni goniometriche e quali no
  • Grafici con valori assoluti: come varia la curva di una funzione goniometrica se l'argomento o l'intera funzione sono dentro al modulo.

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Prerequisiti per Trasformazioni geometriche di funzioni goniometriche

I prerequisiti per imparare le Trasformazioni geometriche di funzioni goniometriche sono:

Traslazioni lungo gli assi

Per traslare tutte le funzioni goniometriche orizzontalmente, e quindi lungo la direzione dell'asse £$x$£, dobbiamo aggiungere una costante all'argomento della funzione:
£$y=sen \ (x+a)$£ con £$a \in \mathbb{R}$£ è una traslazione orizzontale perché abbiamo aggiunto la costante £$a$£ all'argomento del seno!

  • Se £$a>0$£ la traslazione è verso sinistra di un intervallo lungo £$|a|$£
  • Se £$a<0$£ la traslazione è verso destra di un intervallo lungo £$|a|$£

Per traslare tutte le funzioni goniometriche verticalmente, e quindi lungo la direzione dell'asse £$y$£ dobbiamo aggiungere una costante al valore della funzione:
£$y=cos \ x + b=b+cos \ x$£ è una traslazione verticale perché abbiamo aggiunto una costante al valore della funzione e non solo al suo argomento!

  • Se £$b>0$£ la traslazione è verso l'alto di un intervallo lungo £$|b|$£
  • Se £$b<0$£ la traslazione è verso il basso di un intervallo lungo £$|b|$£

Simmetrie, dilatazioni, compressioni dei grafici

Moltiplicando l'argomento di una funzione goniometrica, oppure l'intera funzione goniometrica per una costante £$k$£, il grafico della funzione si dilata o si comprime. Stiamo applicando un'omotetia!
Cosa accade moltiplicando l'argomento, per esempio, di £$y=sen \ x$£ per £$k \in \mathbb{R}$£?

La nuova funzione è £$y=sen \ kx$£, il grafico subisce una trasformazione "orizzontale", ossia abbiamo:

  • una compressione lungo l'asse £$ x $£ se £$k > 1$£;
  • una dilatazione lungo l'asse £$ x $£ se £$0<k<1$£.

Il codominio rimane lo stesso della funzione goniometrica di partenza, ma le "onde" sono rispettivamente più o meno frequenti.

Cosa accade invece se moltiplichiamo tutta la funzione, per esempio £$y=sen \ x$£, per £$k \in \mathbb{R}$£?

La nuova funzione è £$y=k \ sen \, x$£, il grafico viene trasformato in "verticale", ossia abbiamo:

  • una compressione lungo l'asse £$ y $£ se £$0<k<1$£;
  • una dilatazione lungo l'asse £$ y $£ se £$k > 1$£.

La funzione interseca l'asse £$x$£ sempre negli stessi punti ma cambia il codominio, per esempio il seno o il coseno saranno contenuti nella fascia compresa fra le rette £$y=-k$£ e £$y=k$£ e non più £$y=-1$£ e £$y=1$£.

Se £$k<0$£ dobbiamo ragionare prima sulle simmetrie delle funzioni goniometriche e poi comporle con le omotetie.

Periodo delle funzioni goniometriche

Traslazioni e simmetrie applicate alle funzioni periodiche non modificano il periodo.

Quando cambia il periodo di una funzione? Il periodo viene modificato:

  • dalle omotetie: se abbiamo £$y=sen (ax)$£ il nuovo periodo £$T$£ si ottiene risolvendo £$aT=2\pi$£; se invece abbiamo £$tg (bx)$£ il nuovo periodo £$T$£ sarà £$bT=\pi$£
  • dalla somma di funzioni goniometriche: il nuovo periodo è il minimo comune multiplo dei singoli periodi delle funzioni sommate.

Grafici con valori assoluti

Il grafico delle funzioni goniometriche cambia a seconda che il modulo sia applicato all'argomento della funzione oppure all'intera funzione.
Se il modulo è applicato all'argomento della funzione, analizziamo il modulo e otteniamo una funzione a tratti.
Se il modulo è applicato a tutta la funzione, disegniamo la funzione e ribaltiamo sopra l'asse delle £$x$£ tutte le parti della curva che si trovano nella parte negativa.

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